专题17 截长补短模型-【口袋书】中考数学背诵手册

中考常考几何模型 专题17 截长补短模型 如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。 截长法：如图②，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。补短法：如图③，延长AB至H点，使 BH=CD，再证明AH=EF即可。 模型精练： 1．如图，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，求证：AE＝ED． 2．如图，已知P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA于点C，∠0AP+∠0BP＝180°．求证：AO+BO＝2CO． 3．（2019•新抚区校级月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE． 4．（2019•尚志市校级月考）已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上AB＝AE，过点E作EF∥BC，交AD于点F，连接BF． （1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形； （2）如图2，当AB＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB+BD，求∠ABC的度数． 3 / 3 $$ 中考常考几何模型 专题17 截长补短模型 如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。 截长法：如图②，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。补短法：如图③，延长AB至H点，使 BH=CD，再证明AH=EF即可。 模型精练： 1．如图，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，求证：AE＝ED． 【点睛】作BE的延长线交CD的延长线于F，结合条件可证明△FCE≌△BCE，得出EF＝BE，BC＝FC，进一步可得出△AEB≌△DEF，可得出结论． 【解答】证明：作BE的延长线交CD的延长线于F， ∵CE是∠BCD的平分线， ∴∠BCE＝∠FCE， ∵AB∥CD， ∴∠F＝∠FBA， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠FBC， ∴∠FBC＝∠F． 在△FCE和△BCE中 ， ∴△FCE≌△BCE， ∴EF＝BE，BC＝FC， 在△AEB和△DEF中 ， ∴△AEB≌△DEF， ∴AE＝ED． 2．如图，已知P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA于点C，∠0AP+∠0BP＝180°．求证：AO+BO＝2CO． 【点睛】作PD⊥OB于D，根据角平分线的性质就可以得出PC＝PD，就有△PCO≌PDO，就可以得出△ACP≌△BDP，进而得出结论． 【解答】证明：作PD⊥OB于D． ∴∠PDO＝90°． ∵P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA ∴PC＝PD．∠PCA＝90°． ∴∠PCA＝∠PDO． 在Rt△PCO和RtPDO中， ， ∴Rt△PCO≌RtPDO（HL）， ∴OC＝OD． ∵∠OBP+∠DBP＝180°，且∠0AP+∠0BP＝180°， ∴∠OAP＝∠DBP． 在△ACP和△BDP中， ， ∴△ACP≌△BDP（AAS）， ∴AC＝BD． ∵AO+BO＝AC+CO+BO， ∴AO+BO＝BD+BO+CO， ∴AO+BO＝DO+CO， ∴AO+BO＝2CO． 3．（2019•新抚区校级月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE． 【点睛】连接AC，延长DE到F，使EF＝BC，连接AF，易证△ABC≌△AEF，进而可以证明△ACD≌△AFD，可得∠ADC＝∠ADF即可解题． 【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF＝BC，连接AF， ∵BC+DE＝CD，EF+DE＝DF， ∴CD＝FD， ∵∠ABC+∠AED＝180°，∠AEF+∠AED＝180°， ∴∠ABC＝∠AEF， 在△ABC和△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴AC＝AF， 在△ACD和△AFD中， ， ∴△ACD≌△AFD（SSS） ∴∠ADC＝∠ADF， 即AD平分∠CDE． 4．（2019•尚志市校级月考）已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上AB＝AE，过点E作EF∥BC，交AD于点F，连接BF． （1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形； （2）如图2，当AB＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角． 【点睛】（1）根据菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）根据AB＝BC可得∠BAC＝∠BCA，再根据EF∥BC，可得∠AEF＝∠C，进而可得度数等于∠BAD的2倍的所有的角． 【解答】解：（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BA