广东省梅州市2020届高三总复习质检试卷(2020.5)数学（理）试题（PDF版）

$$ 广东梅州高三质检 2020.05 数学理科 阅卷标准 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B D C B A 题号 7 8 9 10 11 12 答案 B C D B A C 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 𝑦 = 2(𝑥 − 1) 解析：求导得𝑦′ = (2𝑥 − 1 𝑥2 ) 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 + 1 𝑥2 ， 𝑦′(1) = 2，所以切线方程为𝑦 = 2(𝑥 − 1) 14. 0 解析：由𝑆2，𝑆4，𝑆6是等差数列可知 2𝑆4 = 𝑆2 + 𝑆6 ⇒ 2𝑞 2 = 1 + 𝑞4 ⇒ (𝑞2 − 1) = 0 因为 q≠1，所以 q =－1，𝑆2020 = 0 15. ( 𝑛−2 𝑛−1 ) 𝑘−1 解析：第 1 次传播，谣言一定不会回到最初的人； 从第 2 次传播开始，每 1 次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是 1 𝑛−1 ，没有被 选中的概率是1 − 1 𝑛−1 。 𝑘-1 次传播是相互独立的，故为(1 − 1 𝑛−1 ) 𝑘−1 = ( 𝑛−2 𝑛−1 ) 𝑘−1 16. ± √3 2 因为 AB 是圆的直径，必过圆心（2，1）点，设 AB 所在直线方程为 𝑙𝐴𝐵： 𝑦 − 1 = 𝑘(𝑥 − 2) 设 A、B 点坐标分别为𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)，都在 Q 上，故 { 𝑥1 2 2𝑎2 − 𝑦1 2 𝑎2 = 1 𝑥2 2 2𝑎2 − 𝑦2 2 𝑎2 = 1 两式相减，可得： (𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 + 𝑥2) 2𝑎2 = (𝑦1 − 𝑦2)(𝑦1 + 𝑦2) 𝑎2 ⇒ 𝑦1 − 𝑦2 𝑥1 − 𝑥2 = 1 2 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 = 1 2 × 4 2 = 1 （因为（2，1）是 AB 的中点），即 k =1 联立直线𝑙𝐴𝐵与 Q 的方程： { 𝑦 = 𝑥 − 1 𝑥2 2𝑎2 − 𝑦2 𝑎2 = 1 ⇒ 𝑥2 − 4𝑥 + 2 + 2𝑎2 = 0 又|𝐴𝐵| = 2，即|𝐴𝐵|2 = 4，即 (𝑥1 − 𝑥2) 2 + (𝑦1 − 𝑦2) 2 = 4 又因为𝑦1 − 𝑦2 = 𝑥1 − 𝑥2，则有 4 = 2(𝑥1 − 𝑥2) 2 = 2[(𝑥1 + 𝑥2) 2 − 4𝑥1𝑥2] = 2[42 − 4(2 + 2𝑎2)] 即 8 − 8𝑎2 = 2 ∴ 𝑎 = ± √3 2 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。） 17. 解析： （1）由正弦定理知 𝑠𝑖𝑛 𝐶 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝐵 − √2 𝑠𝑖𝑛 𝐴 由已知𝐶 = 𝜋 4 ，而𝐵 = 𝜋 − 𝐴 − 𝐶 = 𝜋 − (𝐴 + 𝜋 4 ) √2 2 = 2sin (𝐴 + 𝜋 4 ) − √2 sin𝐴 = 2[ √2 2 cos 𝐴 + √2 2 sin 𝐴] − √2 sin𝐴 = √2 𝑐𝑜𝑠 𝐴 ∴ 𝑐𝑜𝑠 𝐴 = 1 2 ，𝐴 = 𝜋 3 6 分 （2）已知ℎ = √3， 则由 𝐴 = 𝜋 3 知 AD = 1 𝐵 = 𝜋 − 𝐴 − 𝐶 = 5 12 𝜋，𝐷𝐵 = ℎ/ 𝑡𝑎𝑛𝐵 先求𝑠𝑖𝑛 5 12 𝜋 = 𝑠𝑖𝑛 ( 𝜋 4 + 𝜋 3 ) = 1 4 (√2 + √6) 𝑐𝑜𝑠 5 12 𝜋 = − 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋 4 + 𝜋 3 ) = 1 4 (√6 − √2) ∴ 𝑡𝑎𝑛 5 12 𝜋 = (√6+√2