数列的函数性质七大题型解题技巧

数列的函数性质七大题型解题技巧 题型一：解析式 例1 设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，（例如）则＝（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】B 【分析】 先由已知条件得出，可知数列为等差数列，求出该数列的通项公式，再利用累加法求出数列的通项公式，并得出数列的通项公式，结合的意义求出的值。 【详解】 ，，且， 因此，数列是以为首项，以为公差的等差数列， ， ， ，则， 当时，，则，则，即， 因此，，故选：B。 【点睛】本题考查数列的综合问题，考查等差数列的定义、累加法求数列的通项、以及新定义问题，考查数列与函数相结合的问题，本题的关键在于数列通项的求解，以及新定义的理解，考查运算分析能力的问题。 例2 已知函数的定义域为，当时，，对任意的，成立，若数列满足，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：∵，∴，∴，，设，，∵，∴，∴，所以为增函数．，，， ，，，∴． 例3. 在数列中，，对任意，，，成等差数列，其公差为. （Ⅰ）若，证明：，，成等比数列（） （Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为，，证明是等差数列. 【详解】（Ⅰ）根据题意得到， 故 ， 故， 故，故，，成等比数列 （Ⅱ），，成等比数列，其公比为，故， ，，成等差数列，则，故； 即，故，得证. 例4 已知数列满足 （1）当时，写出所有可能的值； （2）当时，若且对任意恒成立，求数列的通项公式； （3）记数列的前项和为，若分别构成等差数列，求. 【答案】（1）或或或；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）构造新数列后分类讨论即可得解； （2）转化条件得，，作差得，求出后再求出即可得解； （3）转化条件得，，分组求和即可得解. 【详解】 （1）当时，， 即是以为首项、为公差的等差数列， ， 可得：，，，， 或或或. （2）当时， 即是首项为.公差为的等差数列， ， ，， 且， ，， ，， ， . （3）由己知得① 若，分别构成等差数列， 则，② ，③ ，④ 由②+③得: 是等差数列， 必为定值， 或， 即或， 而由①知，即 ， 即或（舍） ，. 同理，由③+④得: 或， 由上面的分析可知: 而，， 即或（舍） ，从而 . 【点睛】 本题考查了数列递推公式的应用、数列的通项公式和数列求和，考查了分类讨论思想和计算能力. 题型二 单调性 例.已知数列的通项公式为，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 解析：B. 方法一：分离常数法。 方法二：分子分母同时除以n，构造反比例函数函数。 分法三：利用数列单调性定义，作差法。 方法四：导数法。 题型三、周期性 例1. 数列满足，则＿＿． 解析：穷举法周期数列， 例2.已知数列满足 ， ， ， ，则 ， ， . 解析：穷举法周期数列，1,1,0. 题型四、最值性 例1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则该数列的最大项为(　　) A．第2项B．第3项C．第2项或第3项 D．不存在 答案　C解析　易知，an＝.函数y＝x＋(x>0)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，故数列an＝(n∈N*)在区间(0，)上递增，在区间(，＋∞)上递减． 又2<<3，且a2＝a3，所以最大项为第2项或第3项． 例2.在数列{an}中，an＝，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数． 解　an＝＝1＋，设f(x)＝1＋， 则f(x)在区间(－∞，)与(，＋∞)上都是减函数．因为44<<45， 故数列{an}在0<n≤44，n∈N*时递减，在n≥45时递减，借助f(x)＝1＋的图象知数列{an}的最大值为a45，最小值为a44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44. 例3 已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先根据数列的递推公式求出，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列，判断数列的单调性，即可求出. 【详解】 解：因为，所以，解得， 所以 当时， 所以，即， 所以， 所以， 累乘可得，，经检验符合题意 所以， 因为，所以， 令， 则， 所以数列为递增数列， 所以 因为存在，使得成立， 所以 故选：A 【点睛】 此题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在和判别断与求法. 例4 已知各项均为正数的数列的前项满足． （1）求数列通项公式； （2）设为数列的前项和，若对恒成立，求实数的最小值． 试题解析：（1）当时，，解得. 当时，，