第十八章《平行四边形》几何综合探究（四）-人教版八年级下册数学专题练

第十八章专题：《平行四边形》几何综合探究（四） 1. 矩形ABCD中，AB=2，AD=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）． （1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为 ； （2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长； （3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围． 2. 如图1，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，EF交CD于G，EF=ED． （1）求证：EB=EF； （2）连接DF，若DF=2，求BE； （3）如图2，若把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=60°时，猜想BE与DF的数量关系，并证明你的猜想． 3. 已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF． （1）如图1，当E、D分别在AC和AB上时，求证：CD= CF； （2）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，判断（1）中CD与CF的数量关系是否依然成立，并加以证明； （3）如图3，AE= ，AB= ，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，直接写出CF的长． 4. 如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK． （1）若∠1=70°，求∠MKN的度数； （2）△MNK的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由； （3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值． $$第十八章专题：《平行四边形》几何综合探究（四） 1. 矩形ABCD中，AB=2，AD=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）． （1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为 ； （2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长； （3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围． 【解答】 （1）如图1中， ∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=CG=4，∠B=90°， ∵AB=CD=2，∴DG=2 ，∴AG=AB-BG=4-2 ， （2）如图2中， 由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE=90°， ∵点G在线段AE上，∴∠AGC=90°， ∵CA=CA，CB=CG，∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．∴∠ACB=∠ACG， ∵AB∥CD∴∠ACG=∠DAC，∴∠ACH=∠HAC，∴AH=CH，设AH=CH=m，则DH=AD-AH=5-m， 在Rt△DHC中，∵CH2=DC2+DH2，∴m2=22+（4-m）2，∴m= ，∴AH= ，GH=1.5． （3）如图，当点G在对角线AC上时，△OGE的面积最小，最小值= ×OG×EG= ×2×（4- ）=4- ． 当点G在AC的延长线上时，△OE′G′的面积最大．最大值= ×E′G′×OG′= ×2×（4+ ）=4+ 综上所述，4- ≤S≤4+ ． INCLUDEPICTURE "http://img.jyeoo.net/quiz/images/202001/143/8616c9b6.png" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "http://img.jyeoo.net/quiz/images/202001/143/d079371a.png" \* MERGEFORMAT 2. 如图1，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长线上，EF交CD于G，EF=ED． （1）求证：EB=EF； （2）连接DF，若DF=2，求BE； （3）如图2，若把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=60°时，猜想BE与DF的数量关系，并证明你的猜想． 【解答】 （1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCE， ∵EC=EC，∴△BCE≌△DCE，∴BE=ED， ∵EF=ED，∴EB=EF； （2）解：如图1，过E作EK⊥DC于K，EH⊥BC于H， ∴∠EKC=∠EHC=∠BCD=90°，∴四边形EHCK是矩形， ∵∠ECH=45°，∴△EHC是等腰直角三角形，∴EH=CH，∴矩形EHCK是正方形，∴EK=EH， ∴Rt△DEK≌Rt△FEH，∴∠DEK=∠FEH，∴∠DEK+∠FEK=∠FEH+∠FEK，∴∠DEF=90°