湖南省衡阳市2020届高三下学期第二次联考（二模）数学（理）试题（PDF版）

衡阳市教科院 1 r z yxA O C B 2020 届衡阳市高三第二次联考数学（理科）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A C A B C D D A B C 13. 2 14. 48 15. 4  16. 2 【重点题简析】 10.【解析】 2 3 9 103 , 2 3 , 3 3 , 9 3x k x k x k x          ，求 103 10MOD . 【法一】数字易分解，取余自分晓. 103 81 81 9   ，显然 103 10 9MOD  . 【法二】转化之中看尾数，逐次递推规律现. 3的尾数为3， 23 的尾数为9， 33 的尾数为7 ， 43 的尾数为 1， 53 的尾数为3 , 以此类推便知，其尾数以4 为周期的规律循环呈现， 103 与 23 的尾数一致，为9 . 【法三】结构须意识，勿忘二项式. 10 5 5 0 5 4 5 5 53 9 (10 1) 10 10 ( 1)C C        , 知 103 10 9MOD  . 11.【解析】依题化简得： ( ) cos2f x x ，根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质，欲使得两函数图象对 称中心一致， ( ) cos2( )f x x    须为奇函数，且 tany x 只能为 tany x ，有如下图的两类情况. 4    3 4    12.【解析】【法一】角靠拢，形助兴 cos cos sin sin cos 2sin 2cos 2(cos cos sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B A B A B C A B A B A B        ，整理得： 1 tan tan 2 2 3 A B  ， cos 1 tan tan 2 12 2 2tan 2 3 sin tan tan tan tan 2 2 2 2 2 A B A B C A B A B A B         ，如图有： 2 1 3 3 r x y r rz x y      ， 2 21 1tan tan ( ) 2 2 3 3 3 2 A B xy x y r      max 3 2 r  . 【法二】 1 tan tan , 2 2 3 A B  tan tan 1 12 29 2( ) 2( ) 2 ( ) tan tan tan 1 tan tan tan tan 2 2 2 2 2 2 2 A B r r r x y z r C B A A B B A            得： 1 1 tan tan 2 2 2 3 A B r    max 3 2 r  . 衡阳市教科院 2 r 3-xxA O C B D E C P A B O A P C B 【法三】 1 tan tan , 2 2 3 A B  cos cos 2sin cos 2 2 2 2 A B C C C  ，cos sin 2sin cos 2 2 2 2 A B A B C C   ，得 1 (sin sin ) 2sin cos sin 2 2 2 C C A B C   ，由正弦定理，得 2 3 9, 3.a b c c c     1 tan tan 2 2 3 A B  ，如图可得： 1 (3 ) 3 r r x x   ， 2 (3 ) 3 x x r   ， max 3 3 , 2 2 x r  . 【评】可能会有一部分同学，猜正三角形，从而得到答案.数学多猜想，灵气亦运气. 14.【解析】汉字笔画为传统文化中的常识，求同存异，除偏旁外，六个字剩下的笔画数分别为3,3,5,6,6,5. 故由相邻问题捆绑法，可知共有 2 2 2 3 2 2 2 3 48A A A A  个. 15.【解析】如图，将三棱锥补为长方体，易知其外接球的球心在长方体体对角线的中点， AO 与 PC 所 成角即为 EAD ，在 EAD 中,易求 6, 3AE AD  ， 2 cos 2 EAD  ，则 AO 与PC 所成角的大 小为 4  . 16.【解析】 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 12 36 ( ) 1 0 ( 6) x y k k x k x xa b a b b b y k x      