山西省太原市第五中学2020届高三下学期4月模拟考试数学试题（理）( PDF版)

答案 选择题：CBCBC BDBAD DC 填空题：13. 3 14． _____ 1 [ 2] 3 ， ___．15. _____8___.16. ①②③④ 解答题： 17. 【答案】解：(1) ∵ 𝑠𝑖𝑛𝐴 + 3𝑐𝑜𝑠𝐴 = 0，∴ 𝑡𝑎𝑛𝐴 = − 3， ∵ 0 < 𝐴 < 𝜋，∴ 𝐴 = 2𝜋 3 ．由余弦定理可得𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴，即28 = 4 + 𝑐2 − 2 × 2𝑐 × (− 1 2 )， 即𝑐2 + 2𝑐 − 24 = 0，解得𝑐 = −6(舍去)或𝑐 = 4，故𝑐 = 4． (2) ∵ 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶， ∴ 16 = 28 + 4 − 2 × 2 7 × 2 × 𝑐𝑜𝑠𝐶，∴ 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 2 7 ，∴ 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 2 2 7 = 7， ∴ 𝐶𝐷 = 1 2 𝐵𝐶，∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐷 = 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶， 又𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐶 ⋅ sin∠𝐵𝐴𝐶 = 1 2 × 4 × 2 × 3 2 = 2 3， ∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐷 = 3． 18. 【答案】解：(Ⅰ)证明：∵ 𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵，∴ 𝐷𝐸 ⊥ 𝐸𝐵，𝐷𝐸 ⊥ 𝐸𝐹， ∴ 𝐷𝐸 ⊥平面 BEF，∴ 𝐷𝐸 ⊥ 𝐵𝐹， ∵ 𝐴𝐸 = 2𝐸𝐵 = 2，∴ 𝐸𝐹 = 2，𝐸𝐵 = 1， ∵ ∠𝐹𝐸𝐵 = 60°，∴由余弦定理得 𝐵𝐹 = 𝐸𝐹2 + 𝐸𝐵2 − 2𝐸𝐹 × 𝐸𝐵 × cos∠𝐹𝐸𝐵 = 3， ∴ 𝐸𝐹2 = 𝐸𝐵2 + 𝐵𝐹2，∴ 𝐹𝐵 ⊥ 𝐸𝐵， 由①②得𝐵𝐹 ⊥平面 BCDE， ∴平面𝐵𝐹𝐶 ⊥平面 BCDE． (Ⅱ)解：以 B 为原点，BA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过点 B 作 AB 的垂线为 y 轴，BF 为 z 轴，建立空间直角坐 标系， 设𝐷𝐸 = 𝑎，则𝐷(1,a，0)，𝐹(0,0， 3)，𝐷𝐹 = (−1,−𝑎, 3)， ∵直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 15 5 ， ∴直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正弦值为 6 4 ， 平面 BCDE 的法向量𝑛 = (0,0，1)，∴ |cos < 𝑛 ,𝐷𝐹 > | = |𝑛 ⋅𝐷𝐹 | |𝑛 |⋅|𝐷𝐹 | = 3 4+𝑎2 = 6 4 ，解得𝑎 = 2， ∴ 𝐷(1,2，0)，𝐶(−2,2，0)，∴ 𝐸𝐷 = (0,2，0)，𝐷𝐹 = (−1,−2, 3)， 设平面 EDF 的法向量𝑚 = (𝑥,y，𝑧)， 则 𝐸𝐷 ⋅ 𝑚 = 2𝑦 = 0 𝐷𝐹 ⋅ 𝑚 = −𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 ，取𝑧 = 1，得𝑚 = ( 3, 0,1)， 同理得平面 DFC 的一个法向量𝑝 = (0, 3, 2)， ∴ cos < 𝑚 ,𝑝 >= 𝑚 ⋅𝑝 |𝑚 |⋅|𝑝 | = 2 2 7 = 7 7 ，∴二面角𝐸 − 𝐷𝐹 − 𝐶的正弦值为sin < 𝑚 ,𝑝 >= 1 − 1 7 = 42 7 ． 19. 【答案】解：(Ⅰ)设𝑃(𝑥,𝑦)，则由题意，|𝑃𝐶| − (𝑥 + 1 2 ) = 1 2 ，∴ (𝑥 − 1)2 + 𝑦2 = 𝑥 + 1， 化简可得动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程为𝑦2 = 4𝑥； (Ⅱ)设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2). 由题意，设直线 l 的方程为𝑥 = 𝑚𝑦 + 6，联立抛物线方程可得𝑦2 − 4𝑚𝑦 − 24 = 0， ∴ 𝑦1 + 𝑦2 = 4𝑚，𝑦1𝑦2 = −24①， ∴ 𝑥1 + 𝑥2 = 4𝑚 2 + 12②，𝑥1𝑥2 = 36③ 假设存在𝑁(𝑥0,𝑦0)，使得𝑁𝐴 ⊥ 𝑁𝐵，则𝑦0 = 𝑦1+𝑦2 2 = 2𝑚④， ∴ 𝑥0 = 𝑚 2⑤， ∵ 𝑁𝐴 ⋅ 𝑁𝐵 = 0， ∴代入化简可得(𝑚2 + 6