专题16 证明（知识点串讲）-2019-2020学年七年级数学下册期末考点大串讲（苏科版）

专题16 证明 知识网络 重难突破 知识点一 定义与命题 1、定义 对名称或术语的含义进行描述或作出规定，就是给出它们的定义. 注意： ①定义是对名称或术语的特征和性质的描述； ②定义必须是严密的，一般避免使用含糊不清的词语，比如“一些”“大概”“差不多”等词语必能在定义中出现. 2、命题 判断一件事情的句子叫作命题. 注意： 命题的含义包括两层含义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的 判断，二者缺一不可. 3、真命题、假命题 如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题； 条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题. 命题的表达及改写： （1）命题一般都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论； （2）改写后的命题与改写前的命题的内容要一致； （3）改写后的句子要完整，语句要通顺. 典例1 （2019春•冠县期末）下列说法正确的是　　 A．同位角相等 B．在同一平面内，如果，，则 C．相等的角是对顶角 D．在同一平面内，如果，，则 典例2 （2019春•姑苏区期末）下列命题是真命题的是　　 A．同旁内角互补 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．若，则 D．同角的余角相等 知识点二 证明 1、推理说明的必要性 观察、操作、实验室人们认识事物的重要手段，通过观察、操作、实验可以探索发现一些结论，但是这些结论不一定都正确。数学中，探索发现的结论常常需要加以证实． 要判断一个结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须借助已知的事实一步一步、有根有据地进行推理． 2、公理、证明、定理 （1）公理：公认的真命题称为公理； （2）证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明； （3）定理：经过证明的真命题称为定理． 3、三角形内角和定理的推论 （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°； （2）三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （3）由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论。它和定理一样，可以作为进一步证明的依据． 典例1 （2019春•吴江区期中）下列结论中，错误结论有　　 ①三角形三条高（或高的延长线）的交点不在三角形的内部，就在三角形的外部 ②一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加 ③两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相平行 ④三角形的一个外角等于任意两个内角的和 ⑤在中，若，则为直角三角形 ⑥顺次延长三角形的三边，所得的三角形三个外角中锐角最多有一个 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 典例2 如图，、、三点在同一直线上，（1），（2），（3）平分． 请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明． 已知：　 求证：　　 证明： 典例3 （2019春•京口区校级月考）阅读与推理 阅读三角形的外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 例如：在图1中，是的一个外角，则有．理由是：，． 实践小轩在课外书上看到这样一题：在五角星形中，求的度数．小轩思考：是的外角，根据“三角形的外角定理”可得 　　　　，类似地，　　　　，所以　　． 应用如图3，，点、分别在、上运动，（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．试问：随着点、的运动，的大小会改变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由． 知识点三 互逆命题 1、互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 注意：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题． 2、反例 （1）定义：要证明一个命题为假命题，只要能举出一个满足条件而不满足结论的例子即可，这样的例子称为反例． （2）举反例说明假命题的一般方法 ①尽管逆命题与原命题有着互逆的因果关系，但这两个命题的真与假没有必然的联系； ②通过举反例来说明一个命题是假命题是数学中或日常生活中常用的思想方法，举反例证明时只需要举出一个即可． 注意： 反例的列举必须符合实际，做到说理有根有据；而要证明一个命题是真命题则需要依据公理等推理证明． 典例1 （2019春•常熟市期末）下列命题的逆命题是真命题的是　　 A．对顶角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．直角都相等 D．全等三角形的周长相等 典例2 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：　 　． 典例3 命题“同位角相等