高中数学人教A版（2019）必修（第二册）6.4.3 第3课时(正、余弦定理的综合应用)（共10张PPT）

第三课时 (正、余弦定理综合应用) 一、知识回顾 1.余弦定理及其推论 c2=a2+b2-2abcosC a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB 变形 2.余弦定理及其推论可解决哪几类解三角形的问题？ ①已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边和其它两个角； ②已知三角形的三条边，求三个角. 余 弦 定 理 余 弦 定 理 的 推 论 3.正弦定理： 4.正弦定理可解决哪几类解三角形的问题？ ①可以解决已知两角和一边，解三角形问题； ②可以解决已知两边和其中一边的对角，解三角形问题. 一、知识回顾 二、正弦定理的变形 根据习题第17题可设△ABC的外接圆的半径为R,CD为直径,则∠B为直角,∠A=∠D.于是 sinA=sinD= 同理可得： 因此， ，其变形如下： ① ② ③ a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC 你能用其他方法证明正弦定理吗？课外完成. 即 三、三角形的面积公式 如右图，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c. 作CD⊥AB，垂足为D. S△ABC= 在直角△CDB中，BD= asinC. 于是 同理可得： 这样，我们就得到三角形的另一个面积公式： 三角形的面积公式有很多个,我们最熟悉的是：三角形的面积=底×高÷2. 现在我们再来探究一个三角形面积公式,请看习题第10题：你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗？ B C A a c b D S△ABC= S△ABC= 解： 由正弦定理，得sinC= 四、典型例题 因为c>b，B=30°， 所以30°<c<180° 于是，C=45°或C=135° ①当C=45°时，A= 105°. 此时 a= ②当C=135°时，A= 15°. 此时 a= 例1 在△ABC中，已知b= ，c=2，B=30°，解这个三角形. 为什么角C有两个值？ 四、典型例题 方法一： 在求出角A之后可以用余弦定理求a. 方法二： 在求角A之前可以直接用余弦定理求a. 由b2=c2+a2-2cacosB得 你还有其它方法求a吗？ 化简得 解得a= 或a= 由三角形的性质可知，在区间(0,π)内，余弦函数单调递减, 所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间(0, )内单 调递增，在区间(0, )内单调递减，所以利用正弦定理求角，