高中数学人教A版（2019）必修（第二册）6.4.1 平面几何中的向量方法（共8张PPT）

前面我们学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算. 本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用.同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题. 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用. 有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标. 解： 如右图作向量. 因为DE是△ABC的中位线 例1 如右图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： DE∥BC，DE= BC. C B A D E 所以 从而 又 ， 所以 于是DE∥BC，DE= BC. 平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题,而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决某些几何问题.用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系,最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论. 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 解： 例2 如右图，已知平行四边形ABCD,你能发现对角线AC和BD的长度 与两邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 因此AC2+BD2=2(AB2+AD2). 如右图作向量. 设 ，则 所以 A B C D 两式相加得 课堂练习: 第39页练习第1、2、3题 课堂作业: 第52页习题6.4第1、2、3题 $$