专题02 定点、定值问题（训练篇A）-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

7 用思维导图突破解析几何压轴题 专题2 定点、定值问题 训练篇A 专题02 定点、定值问题 训练篇A 作者:上海市特级教师 文卫星 1．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程； (Ⅱ)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证：直线l过定点． 解 (Ⅰ)设动圆圆心为点P(x，y)，则由勾股定理得x2＋42＝(x－4)2＋y2，化简即得圆心的轨迹C的方程为y2＝8x. (Ⅱ)证1 由题意可设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)． 联立得k2x2＋2(kb－4)x＋b2＝0. 由Δ＝4(kb－4)2－4k2b2＞0，得kb＜2. 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝. 因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以kPB＋kQB＝0， 即kPB＋kQB＝＋＝＝＝0， 所以k＋b＝0，即b＝－k，所以l的方程为y＝k(x－1)． 故直线l恒过定点(1,0)． 证2 设P，Q，因为x轴是∠PBQ的角平分线， 所以kPB＋kQB＝＋＝0，整理得(y1＋y2)＝0. 因为直线l不垂直于x轴，所以y1＋y2≠0，可得y1y2＝－8. 因为kPQ＝＝，所以直线PQ的方程为y－y1＝，即y＝(x－1)．故直线l恒过定点(1,0)． 证3设直线PB的方程为x＝my－1，它与抛物线C的另一个交点为Q′，设点P(x1，y1)，Q′(x2，y2)，由条件可得，Q与Q′关于x轴对称，故Q(x2，－y2)． 联立消去x得y2－8my＋8＝0， 其中Δ＝64m2－32＞0，y1＋y2＝8m，y1y2＝8.所以kPQ＝＝，因而直线PQ的方程为y－y1＝(x－x1)． 又y1y2＝8，y＝8x1，将PQ的方程化简得(y1－y2)y＝8(x－1)， 故直线l过定点(1,0)． 证4 由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在x轴上， 所以设定点坐标为(a,0)，直线PQ的方程为x＝my＋a. 联立消去x，整理得y2－8my－8a＝0，Δ＞0. 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 由条件可知kPB＋kQB＝0，即kPB＋kQB＝＋ ＝=0，所以－8ma＋8m＝0. 由m的任意性可知a＝1，所以直线l恒过定点(1,0)． 2．（2020成都七中）已知