专题02 定点、定值问题（训练篇B）-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

8 用思维导图突破解析几何压轴题 专题2 定点、定值问题 训练B 专题2 定点、定值问题 训练篇 B 作者:上海市特级教师 文卫星 1.如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于 两点（在的上方），且． (1)圆的标准方程为 ； (2)过点任作一条直线与圆相交于 两点，下列三个结论： ①；②；③． 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）. 解 (1)不妨设圆C的标准方程为：，由，知，则圆. (2) 解1 因为OT为圆的切线，OAB为圆的割线，所以由切割线定理可得 由于，所以 ，，所以 ∽，∽. 因为， ，所以 ，， 由此可知①正确， ，. 所以，①②③都正确. 解2 切割线定理虽然简单，但毕竟不是常用方法，不少同学难以想到.以下从解析法角度求解. 若①成立，则AB（OB）是的角平分线，只要证明. 由(1)中知. 当直线斜率不存在时，设，则，， . 当直线斜率存在时，设直线的方程为：，. 联立直线与圆的方程消去， 由韦达定理知 则 故是的角平分线.由角平分线定理知 ，故①正确. 由点是单位圆上的动点，可设，则， 从而易判断②③正确，故①②③都正确. 解3（特殊化思想）当MN过点A且平行于x轴时，与全等，①正确，此时， ，那么，， 则 ，，②③都正确. 所以，①②③都正确. 2.已知椭圆 的长轴长为，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过动点的直线交轴于点，交于点（在第一象限），且是线段的中点．过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点． （ⅰ）设直线，的斜率分别为，证明为定值； （ⅱ）求直线的斜率的最小值． 解（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，，所以，，所以椭圆的方程为. （2） (i)设，由，可得，. 所以直线的斜率，直线的斜率，此时，所以为定值. (ii)设,，直线的方程为，直线的方程为. 联立，整理得， 由可得， 所以， 同理 ，. 所以， , . 所以，. 由，，可知，所以，等号当且仅当时取得.此时，即，符号题意. 所以直线的斜率的最小值为. 3. 已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上． （1）求椭圆E的方程； （2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C,D，证明： 解（1）由已知，，因为椭圆过点，所以，解