专题04 存在性问题（训练篇A）-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题4 存在性问题 训练篇A 专题04 存在性问题 训练篇A 作者：上海市特级教师 文卫星 1．在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H. （1）求； （2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由. 解 （1）由已知得，. 又为关于点的对称点，则的方程为，代入整理得. 解得，因此． 所以为的中点，即． （2）直线与除以外没有其它公共点．理由如下： 直线的方程为，即，代入得，解得， 即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点． 2.设椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆C的离心率为，的周长为8. （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 解（1）由题意知，所以所求椭圆的标准方程是. （2）假设存在这样的实数使得以为直径的圆恰好经过原点. 设，联立方程组， 消去得， 由题意知，是此方程的两个实数解， 所以，解得或， 所以. 又因为以为直径的圆过原点，所以，所以， 而， ，即，解得. 故存在这样的直线使得以为直径的圆过原点. 3. 设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 （1）求点P的轨迹方程； （2）设点 在直线x=-3上，且.证明过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 解 （1）设则 由得 因为在上，所以 因此点的轨迹方程为 （2）由题意知，设 则 由得. 又由（1）知 所以即. 又过点存在唯一直线垂直于，所以过点且垂直于的直线过的左焦点. 4． 已知曲线，过点作直线和曲线交于两点. （1）求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离； （2）若，点在第一象限，轴，垂足为，连结.求直线斜率的取值范围； （3）过点作另一条直线，和曲线交于两点. 问是否存在实数，使得和同时成立.如果存在，求出满足条件的实数的取值集合；如果不存在，请说明理由. 解 （1）曲线的焦点为，渐近线方程， 由对称性，不妨计算到直线的距离，. （2） 设，，从而。 又因为点在第一象限，所以， 从而。 （3）当直线，直线， ， 当直线，直线时，。不妨设，