专题04 存在性问题（训练篇B）-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题4 存在性问题 训练篇B 专题04 存在性问题 训练篇B 作者：上海市特级教师 文卫星 1.设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （2）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 解（1）如图1，设，，则由， 可得，，所以，. ① 因为点在单位圆上运动，所以. ② 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. 因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，. （2）解法1：如图2、3，对任意的，设，，则，，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得 . 依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得 ，即. 因为点H在直线QN上，所以.于是 ，. 而等价于，即，又，得， 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 注 如果开始把直线的方程代入椭圆的方程直接求出、坐标，按上述解方法也可以求解，但书写冗长.上述解法体现“设而不求”思想. 解法2：如图2、3，，设，，则，， 因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得 . ③ 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故. 于是由③式可得 . ④ 又，，三点共线，所以，即. 于是由④式可得. 而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 2.如图，椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于A，B两点.当直线平行于轴时，直线被椭圆E截得的线段长为. （1）求椭圆E的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由