专题03 最值问题（训练篇B）-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

10 用思维导图突破解析几何压轴题 专题3 最值问题 向量B 专题03 最值问题 训练篇B 作者：上海市特级教师 文卫星 1. 已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 解 设左焦点为F1,连接.则四边形是平行四边形,故，所以，，所以. 设，则故，从而，，，所以椭圆E的离心率的取值范围是，故选（A）. 2.设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 解 要求渐近线斜率的取值范围，就要求出满足的不等式，可以通过解直线DB、DC的联立方程组求出D的坐标，也可以从对称性分析D在x轴上. 解1 由题意，需要求出的坐标，为此要求出直线BD、CD的方程. 如图所示，令易知 又由题意可知：，所以 直线CD的方程为：， 直线BD的方程为：. 两式联立解得 依题意知：， 化简得所以，双曲线的渐近线斜率的取值范围是，选A. 解2 由对称性知D在x轴上，可设D(m,0)，由到直线的距离小于知，即. 因为，所以，于是 ，即， 所以，即. 故双曲线的渐近线斜率的取值范围是 3.设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线恰有4条，则的取值范围是 （ ） （A） （B） （C） （D） 解 涉及中点弦问题求范围，常用方法是设出直线方程并代 入曲线方程，由判别式大于0得到不等式，再利用其它条件 求某个变量的范围. 求中点弦还可以利用“点差法”. 解1如图，设直线的方程为，则 当m=0时，满足条件的直线只要两条； 当时，与抛物线联立，消去，得 . 由，有. 设，由韦达定理，从而有. 设圆的圆心为，由，则， 整理得，代入，得. 所以,选（D）. 解2设，，， 因为在抛物线上，所以 两式相减得. 若直线的斜率不存在，则满足条件的直线必有两条； 若直线的斜率存在，则，所以，即. 又，所以，即，所以，，所以点在直线上. 直线与抛物线交点坐标为，所以. 因为在圆上，所以， 即. 又，所以，从而，所以.选（D）. 注 解1是把求圆半径的范围转化成