专题04 存在性问题（精讲篇）-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

10 用思维导图突破解析几何压轴题 专题4 存在性问题 （共11页） 专题04 存在性问题 作者：上海市特级教师文卫星 解析几何中的存在性问题通常是设其 存在性问题 选择变量（参数）表示相关量 根据参数解题情况分类讨论存在性 直接求得相关量 存在，然后依据题设条件进行推理，有时 通过直接计算就能得到结论，有时要根据 要求确定存在的条件，如果得到矛盾则说 明不存在.高考中存在性问题一般以解答 题的形式出现. 本专题思维导图如右 解题预设其存在 推理论证求出来 如若前后有矛盾 那就说明不存在 例1 过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）当时，求证：⊥； （2）记、 、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立．若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 思路点拨 （1）证明与垂直可以证明，也可以证明斜率之积等于-1，还可以用几何法；（2）设直线MN的方程为，则有，用相关量分别表示、、，根据即可即得的值. 满分解答 （1）依题意，可设直线MN的方程为，则有 由消去x可得． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而有 ① 于是 ② 又由，可得 ③ （1）如图，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线，此时 ①可得． 证法1：， ． 证法2： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 证法3 平面几何 证法 . (2)存在，使得对任意的，都有成立． 记直线与x轴的交点为,则．于是有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若，即， 亦即 ． 把的值代入解得． 例2 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T. （1）求椭圆E的方程及点T的坐标； （2）设O是坐标原点，直线平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P. 证明：存在常数，使得，并求的值. 思路点拨 第（1）题把直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用判别式及已知条件即可求出椭圆方程和T点坐标；第（2）题把直线与联立可