专题10 三角函数的图像和性质-冲刺2020年高考满分数学（理）纠错专辑

专题10三角函数的图像和性质（原卷版） 易错点1： 注意符号对三角函数性质的影响 要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况. 易错点2：在函数变换后，在具体某个定义域区间内，不能准确、快速地求出函数的最大值或最小值或值域，或根据函数的最值求函数某个参数的最值或具体值。 三角函数的最值不一定在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的。求函数y=Asin(ωx+φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t=ωx+φ的范围，再结合图象得出y=Asin t的值域，即得原函数的最值. 易错点3：不熟悉复合形式的三角函数的单调区间的求法. 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化. 易错点4：不能正确理解三角函数图象变换规律 （1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 易错点5：对正弦型函数 及余弦型函数 的性质：如图象、对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义；不能准确地知道点对称或轴对称在三角函数图像中的性质，不能准确地求出三角函数的最小正周期。 （1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T= ，T= ，T= 求解． （2）对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断． 易错点6：在解三角问题时，没有注意到正切函数、余切函数的定义域，以正弦函数、余弦函数的有界性。 易错点7：在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时，易将ω和φ求错 （1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则 . （2）求ω，已知函数的周期T，则 . （3）求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)． ②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的点作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ= ； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ= ； “第五点”为ωx＋φ=2π. 题组一：三角函数的图像与性质 1．（2011新课标）设函数 ，则（ ） A． 在 单调递增，其图象关于直线 对称 B． 在 单调递增，其图象关于直线 对称 C． 在 单调递减，其图象关于直线 对称 D． 在 单调递减，其图象关于直线 对称 2．（2012新课标）已知 >0， ，直线 = 和 = 是函数 图像的两条相邻的对称轴，则 =（ ） A． D． C． B． 3．（2017新课标Ⅲ）设函数 ，则下列结论错误的是（ ） A． 的一个周期为 B． 的图像关于直线 对称 C． 的一个零点为 D． 在 单调递减 4．(2018全国卷Ⅱ)若 在 是减函数，则 的最大值是( ) A． B． C． D. π 5．（2012新课标）已知 ，函数 在 单调递减，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 6．（2016全国I）已知函数 为 的零点， 为 图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为（ ） A．11          B．9      C．7          D．5 7．（2014新课标Ⅰ）在函数① ，② ，③ ， ④ 中，最小正周期为 的所有函数为( ) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 题组二：三角函数图像的变化 8．（2017新课标Ⅰ）已知曲线 ： ， ： ，则下面结论正确的是( ) A．把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 B．把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 D．把 上各点的横坐标缩短到原来的