专题12 平面向量-冲刺2020年高考满分数学（理）纠错专辑

专题12 平面向量（原卷版） 平面向量是高中数学的重要内容，是解决实际问题强有力的工具，是近年来高考的热点之一．对向量问题的考查，往往与不等式、解析几何、数列、平面几何等知识结合起来．本文通过对近十年全国新课标卷试题进行分析、汇总，希望同学们能够对平面向量的考向、考法、考试题型、难易程度有更加清晰的认识，避免走弯路，错路，以提高复习的效率． 易错点1：忽略零向量； 易错点2：利用向量的数量积计算时，要认真区别向量 与实数a·b； 易错点3：利用向量的数量积计算时，判断向量夹角的大小时要牢记“起点相同”； (1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得 EMBED Equation.DSMT4 (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 易错点4：向量数量积 的几何意义中 的叫做 在 方向上的正射影的数量，它是一个数量，它可正，可负，也可以为0，要注意区分； 易错点5：向量数量积 >0并不等价于向量 与 的夹角为锐角； 易错点6：三点共线问题 1.若A、B、C三点共线，且 ,则 2. 中 确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程 ，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于 的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于 的方程，再进行求解 3.(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使 ，则A，B，C三点共线． 【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点. 易错点7：向量与三角形的综合 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 题组1：线性运算 1.（2015）设D为 ABC所在平面内一点 ，则( ) A. B. C. D. 2．（20181）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=( ) A． - B． - C． + D． + 3. 中，点 在 上， 平分 ．若 ， ， ， ，则 ( ) A. B. C. D. 4.（2014新课标1）设 分别为 的三边 的中点， 则 （ ） A． B． C． D． 5.（20132）已知正方形的边长为,为的中点,则 ． 题组2：形如 条件的应用 6.在 所在平面内有一点O，满足 ， ，则 等于_______. 7.已知A、B、P是直线 的最小值为 。 ，则 ，若正实数x、y满足 上三个相异的点，平面内的点 8.（20173）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 = + EMBED Equation.DSMT4 ，则 + 的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 题组3:共线向量的坐标运算 9.已知非零向量 不共线，若使 EMBED Equation.DSMT4 共线，则实数k= . 10．(20183)已知向量 ， ， ．若 ， 则 = ． 11．（20183）已知向量 ，若λ为实数， ，则λ=____ 13.已知向量 ，若 与 共线，则k=____ . 14．(20151)设向量 不平行，向量 与 平行，则实数 = ___． 题组4：垂直向量 15.（2011）已知 与 为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量 与向量 垂直，则k=_____． 16.已知两个单位向量 ， 的夹角为 ， ，若 ，则 _____. 17.已知向量 ，若 ，则 _________ 18.（20162）已知向量 ，且 ，则m=____. 题组5：求夹角 19.（20163）已知向量 , 则 ABC=____. 21.若两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角为__. 22.（20141）已知 ， ， 是圆 上的三点，若 ，