专题20 立体几何解答题-冲刺2020年高考满分数学（理）纠错专辑

专题20 立体几何大题（原卷版） 立体几何解答题高考中的必考题，占12分，一般考察立体几何知识掌握情况及解答技巧。如线面垂直、面面垂直、线面平行，线面角、二面角等问题。 立体几何解答题中的易错和易混点 易错点1：求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法； 易错点2：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大； 易错点3：作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见； 易错点4：求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法、向量法） 易错点5：求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 易错点6： 两条异面直线所成的角的范围：0°<α≤90° 直线与平面所成的角的范围：0o≤α≤90° 二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180° 易错点7：用向量法求线面角得的是正弦值，而不是余弦值； 易错点8：用向量法求二面角时，最后一步忘了判断二面角的平面角是钝角还是锐角，导致结果错误。 题组一 1．（2015新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8， 点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。 2.（2016全国III）如图，四棱锥 中， ⊥底面 ， ， ， ， 为线段 上一点， ， 为 的中点．（Ⅰ）证明 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 题组二 3.（2013新课标Ⅱ）如图，直三棱柱中， （Ⅰ）证明：//平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 4．（2012新课标）如图，直三棱柱 中， ， 是棱 的中点， ． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求二面角 的大小． SHAPE \* MERGEFORMAT 传统法求二面角的大小：作出二面角的平面角并通过解三角形计算。 作平面角常用方法如下：  ①先确定二面角的棱，在棱上找一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为平面角。  ②垂面法：用垂直于二面角棱的平面截二面角，两交线所成的角即为平面角  ③三垂线定理及其逆定理：过一个半平面内一点作另一半平面的垂线，过垂足在另一个半平面内作棱的垂线得棱上一点（即斜足），斜足与面上一点的连线和斜足与垂足连线所成角为平面角。  ④利用特殊图形的垂直关系直接作出平面角。此类问题的特征是图形中一般有二面角的平面角，只须利用前面三种方法进行判断即可找到二面角的平面角。 题组三 5.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B-CG-A的大小. 附：平面图形的翻折问题：  （1）将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为轴的一个旋转  （2）求解翻折问题的基本方法是：先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立几问题。 （3）把平面图形翻折成空间图形后的有关计算问题，必须抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些不变，特别要抓住不变量。一般地，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及到两个半平面内的几何元素之间的关系是变的。 题组四 6．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形， ， ． (1)证明：平面 ⊥平面 ； (2)过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部分，求二面角 的余弦值． 7．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点． (1)证明：平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ； (2)当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值． 题组五 8．（2014新课标II）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ， 为 的中点． （Ⅰ）证明： ∥平面 ； （Ⅱ）设二面角 为60°， =1， = ， 求三棱锥 的体积．