专题13 数列的综合应用-2020年高一数学春季课程教案（人教版）

专题13 数列的综合应用 适用学科 高中数学 适用年级 高中一年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 120 知识点 数列应用题常见模型 解答数列应用题的步骤 教学目标 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题. 2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用． 教学重点 通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题. 教学难点 通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题. 教学过程 一、课堂导入 [考情展望]　 1.结合函数、不等式、方程、几何等知识，综合考查数列的相关性质，如最值、不等关系的证明等. 2.在具体情景中，借助等差或等比数列的有关知识解决实际问题． 二、复习预习 [自主梳理] 1．数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由Sn求an时，要对______________进行分类讨论． 2．数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型． (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求an还是求Sn. (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值； ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和． 【答案】1．(4)n＝1或n≥2 三、知识讲解 考点1数列应用题常见模型 1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． 2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． 3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系． 考点2解答数列应用题的步骤 1．审题——仔细阅读材料，认真理解题意． 2．建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． 3．求解——求出该问题的数学解． 4．还原——将所求结果还原到原实际问题中． 四、例题精析 考点一 等差数列与等比数列的综合应用 例1已知是递增的等差数列，，是方程的根。 （I）求的通项公式； （II）求数列的前项和. 考点二 数列与函数的综合应用 例2设函数f(x)＝＋sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}． (1)求数列{xn}的通项公式； (2)设{xn}的前n项和为Sn，求sin Sn. 考点三 数列与不等式的综合应用 例3（2016全国乙理）设等比数列满足，，则的最大值为____________ 考点四 数列与方程、函数、不等式的综合问题 例4已知数列满足=1，. （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）证明：. 五、思想与方法渗透 规范解答之一数列的实际应用问题 例题(12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年奖金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)． 课程小结 1．数列实际应用问题：(1)数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．(2)在试题中常用的数学模型有①构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式求解；②通过归纳得到结论