专题11 等差数列-2020年高一数学春季课程教案（人教版）

专题11 等差数列 适用学科 高中数学 适用年级 高中一年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 120 知识点 等差数列 等差数列的性质 教学目标 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等差数列与一次函数的关系. 4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题． 教学重点 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 教学难点 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 教学过程 一、课堂导入 [考情展望]　 1.运用基本量法求解等差数列的基本量问题. 2.在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明. 3.在具体情景中能识别具有等差关系的数列，并会用等差数的性质解决相应问题． 二、复习预习 [自主梳理] 1．等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n∈N*，d为常数)． (2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是__________，其中A叫做a，b的__________． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝________，an＝am＋________ (m，n∈N*)． (2)前n项和公式：Sn＝__________＝____________. 3．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝__________. 4．等差数列的性质 (1)若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则有__________，特别地，当m＋n＝2p时，______________. (2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． (3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为____________；若d<0，则数列为__________；若d＝0，则数列为________． 三、知识讲解 考点1等差数列 1．定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)． 2．通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d. 3．前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 4．a、b的等差中项A＝. [方法技巧] 证明{an}为等差数列的方法： (1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列； (2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列； (3)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列； (4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝. 考点2等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k， 则am＋an＝ap＋aq＝2ak. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列． [拓展延伸] 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1) ②S2n－1＝(2n－1)an. ③n为偶数时，S偶－S奇＝d；n为奇数时，S奇－S偶＝a中． 四、例题精析 考点一等差数列的判定与证明 例1为数列{}的前项和.已知＞0，=. （Ⅰ）求{}的通项公式； （Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和. 考点二等差数列的基本运算 例2(2017全国乙理科)记为等差数列的前n项和，若，，则的公差为( ) A．1　　　　 B．2　　　　 C．4　　　　 D．8 (2) 已知等差数列前9项的和为27，，则 （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 考点三 等差数列的性质及应用 例3(2016全国卷甲理科)为等差数列的前n项和，且，记，其中表示不超过x的最大整数，如=0， (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，求数列{an}的项数及a9＋a10. 考点四 等差数列前n项和的最值 例4等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为________. 考点五 等差数列的综合应用 例5(2017·全国甲)等差数列的前n项和为，，则=____________ 五、思想与方法渗透 规范解