高中数学人教A版选修4-5 第三讲 二 一般形式的柯西不等式 课件(共31张PPT)

新课导入 回顾旧知 1.二维形式的柯西不等式的代数形式? 若a,b,c,d都是实数， 则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立. 2.二维形式的柯西不等式的向量形式？ 设αβ是两个向量，则│α.β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立. 从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论（结合图像）？ 思考 0 x z y 0 x y 观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不等式.类似地，从空间向量的集合背景也可以得到│α.β│≤│α││β│ 将空间向量的坐标代入，化简得(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，当且仅当α=β共线时，即β=0.或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时，等号成立. 探究 对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 3.2一般形式的柯西不等式 教学目标 知识与能力 1.掌握一般形式的柯西不等式的内容. 2.灵活应用柯西不等式. 过程与方法 1.通过二维柯西不等式推导出一般形式的柯西不等式. 2.通过例题熟悉柯西不等式的应用. 情感态度与价值观 培养学生的逻辑思维能力. 教学重难点 重点 难点 运用柯西不等式分析解决一些简单问题. 一般形式的柯西不等式的证明思路. 柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 (2) 猜 想 分 析 如果设A=a12+a22+…+an2,B=a1b1+a2b2+…+anbn,C=b12+b22+…+bn2,不等式(2)就是AC≥B2.我们可以构造二次函数，通过讨论相应的判别式来证明. 证 明 当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，(2)式显然成立. 设a1,a2,…,an中至少有一个不为0，则a12+a22+…+an2>0. 因为对于任意实数x，f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2≥0,所以二次函数f(x)的判别式△≤0， 即4(a1b1+a2b2+…+anbn)-4(a12+a22+…+an2)(b