河南省洛阳市2020届高三下学期第二次统一考试(4月)数学（文）试题（PDF版）

洛阳市２０１９———２０２０学年高中三年级第二次统一考试 数学试卷参考答案（文） 一、选择题 １—５ＤＡＢＢＢ　　６—１０ＣＡＣＢＢ　　１１—１２ＡＤ 二、填空题 １３．２　　１４．２０２０　　１５．（狓－２） ２ ＋（狔－１） ２ ＝４　　１６． ２５ ８ 三、解答题 １７．（１）犳（狓）＝４ｓｉｎ（狓－ π ３ ）ｃｏｓ狓＋槡３＝４（ １ ２ ｓｉｎ狓－ 槡３ ２ ｃｏｓ狓）ｃｏｓ狓＋槡３ ……１分 ＝２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓－ 槡２３ｃｏｓ ２狓＋槡３＝ｓｉｎ２狓－槡３ｃｏｓ２狓 ……２分 ＝２ｓｉｎ（２狓－ π ３ ）． ……３分 所以函数犳（狓）的最小正周期为犜＝π． ……４分 由２犽π－ π ２ ≤２狓－ π ３ ≤２犽π＋ π ２ （犽∈犣），得犽π－ π １２ ≤狓≤犽π＋ ５π １２ （犽∈犣）． ……５分 所以函数犳（狓）的单调递增区间为［犽π－ π １２ ，犽π＋ ５π １２ ］（犽∈犣）． ……６分 （２）函数犵（狓）＝犳（狓）－犿 在［０， π ２ ］上有两个不同的零点狓１，狓２，即函数狔＝ 犳（狓）与狔＝犿在［０， π ２ ］上的图象有两个不同的交点， ……７分 在直角坐标系中画出函数狔＝犳（狓）＝２ｓｉｎ（２狓－ π ３ ）在［０，π ２ ］上的图象，如图所示， ……８分 由图象可知，当且仅当犿∈ ［槡３，２）时，方程犳（狓） ＝犿有两个不同的解狓１，狓２， ……９分 且狓１＋狓２ ＝２× ５π １２ ＝ ５π ６ ， ……１１分 故ｔａｎ（狓１＋狓２）＝ｔａｎ ５π ６ ＝－ｔａｎ π ６ ＝－ 槡３ ３ ． ……１２分 １８．（１）证明：连接犙犕， ∵　犕，犖，犙分别为犅犆，犆犇，犃犆的中点， ∴　犙犕 ∥犃犅， ……１分 高三数学答案（文）　第１页　（共５页）　（２０１９．４） 又 ∵　犙犕  平面犘犃犅，犃犅  平面犘犃犅， ∴　犙犕 ∥ 平面犘犃犅， 同理，犙犖 ∥ 平面犘犃犅， ……２分 ∵　犙犕 平面犕犖犙，犙犖 平面犕犖犙，犙犕 ∩犙犖 ＝犙， ∴　 平面犕犖犙 ∥ 平面犘犃犅， ……３分 ∵　犕犎  平面犕犖犙， ∴　犕犎 ∥ 平面犃犅犘． ……４分 （２）在等腰梯形犃犅犆犇 中，作犃犈 ⊥犅犆于犈，犇犉 ⊥犅犆与犉， 易得犈犉 ＝犃犇 ＝２，又犅犆＝４， ∴　犅犈 ＝犆犉 ＝１，ｃｏｓ∠犃犅犈 ＝ 犅犈 犃犅 ＝ １ ２ ． ∴　∠犃犅犈 ＝ π ３ ． ∵　∠犃犅犈 与 ∠犃犇犆互补，　∴　∠犃犇犆＝ ２ ３ π． 在 △犃犇犆中，犃犆＝ 犃犇 ２ ＋犇犆 ２ －２犃犇·犇犆·ｃｏｓ∠槡 犃犇犆 ＝ 槡２３． ∴　犅犆 ２ ＝犃犅 ２ ＋犃犆 ２．　∴　犃犅 ⊥犃犆． ……５分 ∵　犅犘 ∥犕犖，∠犃犅犘 为锐角， ∴　∠犃犅犘 为直线犃犅 与犕犖 所成的角，∠犃犅犘 ＝ π ４ ． 又犃犅 ＝犃犘 ＝２，　∴　△犃犅犘 为等腰直角三角形．　∴　犅犘 ＝ 槡２２． ……６分 ∴　ｃｏｓ∠犅犆犇 ＝ ４２＋２ ２ －（槡２２） ２ ２×４×２ ＝ ３ ４ ． ……７分 ∴　犛△犃犅犆 ＝ １ ２ 犃犅·犃犆＝ １ ２ ×２× 槡２３＝ 槡２３． 犛△犃犘犅 ＝ １ ２ 犃犅·犃犘 ＝ １ ２ ×２×２＝２． 犛△犃犆犘 ＝ １ ２ 犃犘·犘犆·ｓｉｎ∠犃犘犆＝ １ ２ ×２×２ｓｉｎ ２π ３ ＝槡３． ……１０分 ∴　犛△犅犆犘 ＝ １ ２ 犅犆·犘犆·ｓｉｎ∠犅犆犘 ＝ １ ２ ×４×２× １－（ ３ ４ ）槡 ２ ＝槡７， ……１１分 ∴　 三棱锥犘－犃犅犆的表面积为犛＝２＋ 槡３３＋槡７． ……１２分 １９．（１）设犃（狓０，０），犅（０，狔０），则狓０ ２ ＋狔０ ２ ＝９． ……１分 高三数学答案（文）　第２页　（共５页）　（２０１９．４） 设犕（狓，狔）由 → 犅犕 ＝２ → 犕犃 得 狓＝２（狓０－狓）， 狔－狔０ ＝２（０－狔） ｛ ． 狓０ ＝ ３ ２ 狓， 狔０ ＝３狔 烅 烄 烆 ． ……２分 故（３ ２ 狓）２＋（３狔） ２ ＝９， 化简得犕 的轨迹犆的方程为 狓２ ４ ＋狔 ２ ＝１． ……４分 （２）依题意，直线犖犘 斜率存在，可设直线犖犘 的方程为狔＝犽狓＋１， 与犆的方程联立，消去狔得（１＋４犽 ２）狓２＋８犽狓＝０． ……５分 上式为犘、犖 的横坐标，设犘（狓１，狔１），则狓１ ＝ －８犽 １＋４犽 ２ ， 狔１ ＝犽狓１＋１＝ １－４犽 ２ １＋４犽 ２． ……６分 设犙（狓２，狔２），则狓２ ＝ ８犽 犽２＋４ ， ……７分 狔２ ＝－ １ 犽 狓２＋１＝ 犽２－４ 犽２＋４ ． ……８分 直线犘犙 的方程为 狔－狔１ 狔２－狔１ ＝ 狓－狓１ 狓２－狓１ ． ……９分 令狓＝０，得狔＝ 狓２狔１－狓１狔２ 狓２－狓１