第六章 6.2.4 向量的数量积（课件+课时作业）-2020年【精讲精练】高中新课标辅导数学（人教A版，必修第二册）

§6.2.4　向量的数量积 1.已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b等于 A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4 解析　a·b＝1×2×cos ＝1，故选A. 答案　A 2.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝的值等于·，则 A.－2 B.2 C.－2 D.2 解析　|cos∠ABC||＝|· ＝2××cos 45°＝2. 答案　B 3.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，e是与a同向的单位向量，则向量b在a方向上的投影向量为 A.4e B.－4e C.2e D.－2e[来源:学§科§网] 解析　向量b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉e ＝4×cos 120°e＝－2e. 答案　D 4.(一题多解)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 解析　解法一　|a＋2b|＝ ＝.＝2＝＝ 解法二(数形结合法) 由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图， 则|a＋2b|＝||. 又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2. 答案　2 5.已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________. 解析　设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)·(a－b)＝－2，得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2， 解得cos θ＝.，所以θ＝ 答案　 6.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，[来源:学科网ZXXK] 求：(1)c·d；(2)|c＋2d|. 解析　(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b) ＝2a2－2b2＋3a·b ＝2×4－2×1＋3×2×1×＝9. (2)|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b ＝16×4＋9×1＋24×2×1×＝97， ∴|c＋2d|＝. 7.在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则等于· A. B.6 C.12 D.18 解析　如图，过点O作OD⊥AB于D，可知AD＝AB＝3， 则)·＋＝(· ＝·＋· ＝3×6＋0＝18，故选D. 答案　D 8.(多选题)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－b－a|＝1，则|c|可以为 A.0 B.1 C.2 D.3 解析　如图所示， 令.|＝＝c，则|＝a＋b，＝b，＝a， 又|c－b－a|＝1，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，[来源:学+科+网Z+X+X+K] 易知当点C与O，D共线时，|－1，＋1，最小值为|取到最值，最大值为 所以|c|的取值范围为[＋1].故选BC.－1， 答案　BC [来源:学科网] 9.已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，e是与a同向的单位向量，则a＋b在a上的投影向量为________. 解析　由题意，得(a＋b)·a＝a2＋b·a＝1＋2×1×e＝2e.＝2，设向量a＋b与向量a的夹角为θ，则向量a＋b在向量a上的投影向量为|a＋b|cos θe＝ 答案　2e 10.已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________. 解析　因为3a＋mb＋7c＝0， 所以3a＋mb＝－7c， 所以(3a＋mb)2＝(－7c)2得9＋m2＋6ma·b＝49， 又a·b＝|a||b|cos 60°＝， 所以m2＋3m－40＝0， 解得m＝5或m＝－8. 答案　5或－8 11.已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9. (1)求a与b之间的夹角θ； (2)向量e是与a＋b同向的单位向量，求向量a在a＋b上的投影. 解析　(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9， 即16－4a·b－3＝9， ∴a·b＝1，∴cos θ＝.＝ 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. (2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，即|a＋b|＝. 设a与a＋b的夹角为α，e是与a＋b同向的单位向量， 则向量a在a＋b上的投影向量为 |a|cos αe＝|a|×ee＝ ＝e.e＝e＝ 12.在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，.＝2 (1)若四边形ABCD是矩形，求的值；· (2)若四边形ABCD是平行四边形，且夹角的余弦值.与＝6，求· 解析　(1)因为四边形ABCD是矩形，[来源:学科网ZXXK] 所以＝0， · 由.＝－＝，＝，得＝2 所以·＝· ＝· ＝×81＝18.2＝36－－·2－ (2)由题意，＋＝＋＝ ＝， ＋ ， －＝＋＝＋＝ 所以·＝· ＝2－·2－ ＝36－.·－18＝18－· 又＝6， · 所