第六章 6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例（课件+课时作业）-2020年【精讲精练】高中新课标辅导数学（人教A版，必修第二册）

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 1.若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的 A.东偏北45°10′方向上 　 B.北偏东45°50′方向上 C.南偏西44°50′方向上 D.西偏南45°50′方向上 解析　如图所示，点Q在点P的南偏西44°50′的方向上. 答案　C 2.海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是 A.10 海里 海里 B. C.5 海里 海里 D.5 解析　如图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10， 由正弦定理得(海里)，故选D.，∴BC＝5＝ 答案　D 3.如图，D，C，B三点在地面同一水平线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于 A.50米　　 C.50米　　 D.100米米　　 B.100 解析　因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 所以△ADC为等腰三角形，所以AC＝DC＝100米， 在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝50(米). 答案　A 4.如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________米. 解析　过A作AE⊥CD(图略)，[来源:学.科.网] 垂足为E，ED＝AB＝24米， 则AE＝(米).＝8＝ 在Rt△ACE中，CE＝AE·tan 30°＝8＝8(米)， × ∴CD＝CE＋ED＝8＋24＝32(米). 答案　32 5.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，则河的宽度为________米. 解析　∠ACB＝180°－45°－75°＝60°， 在△ABC中，.＝ ∴BC＝120·， ＝ 河宽为BCsin∠CBA＝＋3)(米). sin 75°＝20( 答案　20(＋3) 6.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值. 解析　如题中图所示，在△ABC中， AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理知， BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20. 由正弦定理，得⇒＝ sin∠ACB＝.·sin∠BAC＝ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角， 则cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝. 7.(一题多解)在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为 A.200 m　　 B.300 m　　 C.400 m　　 D.100 m[来源:Z§xx§k.Com] 解析　解法一　如图，△BED，△BDC为等腰三角形， BD＝ED＝600，BC＝DC＝200. 在△BCD中，由余弦定理可得 cos 2θ＝， ＝ ∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中， AB＝BC·sin 4θ＝200＝300，故选B.× 解法二　由于△BCD是等腰三角形，BD＝DC·cos 2θ， 即300＝200，2θ＝30°，4θ＝60°.cos 2θ.cos 2θ＝ 在Rt△ABC中，AB＝BC·sin 4θ＝200＝300，故选B.× 答案　B 8.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市 B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为 A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 解析　设A地东北方向上点P到B的距离为30 km时，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，化简得x2－40＝1.＝x＋700＝0.设该方程的两根为x1，x2，则P点的位置有两处，即P1，P2.则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即P1P2＝20，故t＝ 答案　B 9.某人从A处出发，沿北偏东60°方向行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km. 解析　如图所示，由题意可知 [来源:学,科,网] AB＝3，BC＝2, ∠ABC＝