第六章 数学探究（课件）-2020年【精讲精练】高中新课标辅导数学（人教A版，必修第二册） (共36张PPT)

数学探究 用向量法研究三角形的性质 数学·必修 第二册 (A) 数学探究 用向量法研究三角形的性质 数学探究 用向量法研究三角形的性质 数学·必修 第二册 (A) 在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了学生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍： 数学探究 用向量法研究三角形的性质 数学·必修 第二册 (A) 一、“四心”的概念与性质 1.重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1；在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的重心时，有eq \o(GA,\s\up6(→))＋eq \o(GB,\s\up6(→))＋eq \o(GC,\s\up6(→))＝0或eq \o(PG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→)))(其中P为平面内任意一点)；反之，若eq \o(GA,\s\up6(→))＋eq \o(GB,\s\up6(→))＋eq \o(GC,\s\up6(→))＝0，则点G是△ABC的重心. 数学探究 用向量法研究三角形的性质 数学·必修 第二册 (A) 在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有x＝eq \f(x1＋x2＋x3,3)，y＝eq \f(x1＋y2＋y3,3). 数学探究 用向量法研究三角形的性质 数学·必修 第二册 (A) 2.垂心：三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂直于对边；在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则eq \o(HA,\s\up6(→))·eq \o(HB,\s\up6(→))＝eq \o(HB,\s\up6(→))·eq \o(HC,\s\up6(→))＝eq \o(HC,\s\up6(→))·eq \o(HA,\s\up6(→))或eq \o(HA,\s\up6(→))2＋eq \o(BC,\s\up6(→))2＝eq \o(HB,\s\up6(→))2＋eq \o(CA,\s\up6(→))2＝eq \o(HC,\s\up6(→))2＋eq \o(AB,\s\up6(→))2，反之，若eq \o(HA,\s\up6(→))·eq \o(HB,\s\up6(→))＝eq \o(HB,\s\up6(→))·eq \o(HC,\s\up6(→))＝eq \o(HC,\s\up6(→))·eq \o(HA,\s\up6(→))，则H是△ABC的垂心. 数学探究 用向量法研究三角形的性质 数学·必修 第二册 (A) 3.内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等. 4.外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等；在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则(eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→)))·eq \o(BA,\s\up6(→))＝(eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→)))·eq \o(CB,\s\up6(→))＝(eq \o(OC,\s\up6(→))＋eq \o(OA,\s\up6(→)))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝0或|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝|eq \o(OC,\s\up6(→))|，反之，若|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝|eq \o(OC,\s\up6(→))|，则点O是△ABC的外心. 数学探究 用向量法研究三角形的性质 数学·必修 第二册 (A) 二、向量法探究“四心”证明问题 探究1　探究三角形三边的垂直平分线交于一点 [证明]　如图，在△ABC中，取三边AB，BC，CA的中点D，E，F，作OD⊥AB，OE⊥BC交于点O，连接OF，只要证明OF⊥CA. 数学探究 用向量法研究三角形的性质 数学·必修 第二册 (A) 因为OD⊥AB，OE⊥BC， 所以eq \o(OD,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝0，eq \o(OE,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝0， 即(eq \o(OF,\s\up6(→))＋eq