上海（沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第二讲复数的方根与实系数一元二次方程

沪教版数学高二下春季班第二讲 课题 复数的方根与实系数一元二次方程 单元 第十三章 学科 数学 年级 十一 学习 目标 1．掌握待定系数法求解复数的平方根和立方根；掌握1的立方根的相关性质，并能利用其进行化简与求值 2．掌握实系数一元二次方程的解法，并会结合根的情况加以讨论 3．理解复数模的几何意义，熟悉常见几何图形的复数表达式 重点 1．方根的求解与化简求值； 2．实系数一元二次方程的解法与根的情况分析． 难点 实系数一元二次方程的解法与根的情况分析 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义 若复数 ， 满足 ，则称 是 的平方根． 2．复数的平方根的求法 即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质 复数 总有两个平方根 ， ，且 （见图1）． 4．复数的立方根的定义 类似的，若复数 ， 满足 ，则称 是 的立方根． 5．1的立方根 设复数 ，则 都是1的立方根． 6． 的性质 ① ， ② ， ③ ． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论 ， 二、实系数一元二次方程 实系数一元二次方程 中的 为根的判别式，那么 （1） 方程有两个不相等的实根 ； （2） 方程有两个相等的实根 ； （3） 方程有两个共轭虚根 ， 在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法： （1）设 化归为实数方程来解决（化归思想）． （2）把 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）． 三、常见几何图形的复数表达式 复数 ， 为定值，且 ． （1）线段 的中垂线方程： ； （2）以 为圆心，半径为 的圆方程： ； （3）以 、 为焦点，长轴长为 的椭圆方程： （其中 ）； （4）以 、 为焦点，实轴长为 的双曲线方程： （其中 ）． 1、复数的平方根与立方根