第2章 2.4 正态分布-2019-2020学年高二数学选修2-3自学学案（北师大版）

2.4　正态分布 一、学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．(重点) 2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．(重点) 3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．(难点) 二、新知梳理 1．正态曲线 若φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布 如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝φμ，σ(x)，则称随机变量X服从正态分布． 正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 4．3σ原则 (1)若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝φμ，σ(x)dx.[来源:Zxxk.Com] (2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682_7， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954_5， P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997_3. (3)通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则． 三、新知初练 1．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 1.D解析：由题意知X的均值为2，因此P(X<2)＝. 2．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．不确定 2.C解析：由正态曲线性质知均值为0. 3．正态分布的概率密度函数P(x)＝e在(3,7]内取值的概率为________. 3.0.682 7解析：由题意可知X～N(5,4)，且μ＝5，σ＝2， 所以P(3<X≤7)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7