1.4 第1课时 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性-2019-2020学年高一数学必修4自学学案（北师大版）

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 第1课时　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性 1、 知识自主梳理 1．任意角的正弦函数、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆． (2)正弦、余弦函数的定义： 如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos_α． (3)正弦、余弦函数的定义域，值域： 通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y＝sin_x和y＝cos_x．它们的定义域为R，值域为[－1，1]． (4)正弦函数、余弦函数值的符号 　象限 三角　　　 　函数　 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 2.周期性 (1)周期函数 一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期． (2)正弦函数、余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期， 其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期． (3)终边相同的角的正弦、余弦函数值间的关系 ①sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)； ②cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)． 二、讲透、练会 题型一：利用定义求任意角的正弦、余弦值 例1．已知角α的终边在射线y＝2x(x＞0)上，求角α的正弦值和余弦值． 解法一：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)， 则y＝2x(x＞0)．又因为x2＋y2＝1， 所以.，cos α＝x＝于是sin α＝y＝ 解法二：在角α的终边上任取一点P(x，y)(x＞0)，则 OP＝|x|， ＝＝ 又因为x＞0，所以OP＝x. 所以sin α＝；＝＝ cos α＝.＝＝ 【名师点评】求任意角的正弦、余弦值常用的两种方法： (1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义． (2)利用正、余弦函数定义的推广：若P(x，y)是角α终边上的任意一点，则sin α＝，cos α＝ 【跟踪训练1】本讲