1.7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质-2019-2020学年高一数学必修4自学学案（北师大版）

§7正切函数 第1课时　正切函数的定义　正切函数的图像与性质 一、知识自主梳理 1．正切函数 (1)定义：如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan_α，其中α∈R，α≠.根据函数的定义，比值＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值 (2)与正弦、余弦函数的关系：＝tan_x． (3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数． (4)正切值在各象限内的符号如图． 2．正切线 单位圆与x轴正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线AT，与角α的终边或其反向延长线交于点T.则称线段AT为角α的正切线．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在． 3．正切函数的图像和性质 　　函数 性质　　 y＝tan x 图像 续表 　　函数 性质　　 y＝tan x 定义域 {x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z} 值域 R 周期性 最小正周期为T＝π 奇偶性 奇函数 单调性 在(kπ－)(k∈Z)上是增加的，kπ＋ 对称性 图像的对称中心(，0)k∈Z 二、讲透、练会 题型一：正切函数的定义及应用 例1．已知tan α＝2，利用三角函数的定义求sin α和cos α. 解析：在α的终边上取一点P(a，2a)且a≠0， 则有x＝a，y＝2a，r＝|a|.＝ ∵tan α＝2>0，∴α在第一象限或第三象限． 当α在第一象限时，a>0，则r＝a. ∴sin α＝.＝＝，cos α＝＝＝ 当α在第三象限时，a<0，则r＝－a. ∴sin α＝， ＝－＝ cos α＝.＝－＝ 【名师点评】 1．若P(x，y)是角α终边上任一点，则sin α＝.(x≠0)，其中r＝，tan α＝，cos α＝ 2．当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论． 【跟踪训练1】角α的终边经过点P(－b，4)且cos α＝－，求tan α的值． 解：由已知可知点P在第二象限，∴b＞0. ∵cos α＝－，解得b＝3， ＝－，∴－ tan α＝－. 题型二：正切函数的图像及应用 例2．画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像写出使y≤1的x的集合． 解析：∵y＝|tan x|＝ 画出其图像，如图所示实线部分