数学：苏教版选修1-2 32复数的四则运算（教案）

数系的扩充与复数的引入复习指导 『教材重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法－类比法． 　　　　　『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法． 　『复习过程指导』 在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系． 在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下： 　　　　　 多项式运算 类比 复数 运算 　类比 向量 运算[来源:学科网ZXXK] 实数 运算 类比 数轴上向量运算 有理数 运算 　　　一．数学思想方法总结 1数学思想方法之一：类比法 　（1）复数的运算 复数代数形式的加法、减法运算法则 　　　　　　 复数代数形式的乘法运算运算法则： 　　　　　　 显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便． （2）复数的几何意义 我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类似的我们有： 复数集C＝与坐标系中的点集一一对应．于是： 复数集＝复平面内的点 　　　　　　复数集＝平面向量 高考资源网 例1．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点 位于　( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 解答：复数＋(1＋i)2＝ 　　　＝ 因为复数对应着直角坐标平面内的点， 　　　　　故在第二象限，答案为B． 　　　　此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解． 例2．非零复数分别对应复平面内向量，若= 则向量与的关系必有（ ） A ．= B． C ． D．共线[来源:Z*xx*k.Com] 解答： 由向量的加法及减法可知： 　　　　　＝ 　　　　　　　＝ 　　　　 由复数加法以及减法的几何意义可知： 　对应的模 　对应的模 　　　　　　又因为=，且非零复数分别对应复平面内向量　 　　　　　　所以四边形OACB是正方形 　　　　　　因此，故答案选B． 　　注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义 （3）复数的化简 虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”． 例３若复数（∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 （A）-2 　 　 (B)4 　　(C) -6 　 (D)6 解答：由＝＝ ＝　 　因为复数是纯虚数 　　　　所以且 　　　　解得 　　　　故答案选C． 　　注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数＝５，一般地（）（）＝ 　　这也是一个复数与实数转化的过程，即是纯虚数可得：且，[来源:学科网] 2．数学思想方法之二　　转化法 　　　　　我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算． 　　　　　基础知识：复数 例４若 , ，且为纯虚数，则 实数a的值为 ． 　解答：＝＝ 因为为纯虚数 所以且．解得 　　　例５．设、、、，若为实数，则， （A）（B） （C）（D） 　解答：　由　　 　　　因为 为实数， 　　　所以其虚部，即 　　　故答案选C． 这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式． 类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算． 　　二．解题规律总结 　　　１有关虚数单位的运算及拓展 虚数的乘方及其规律：，＝－１，，，……（） 拓展（1）任何相邻四个数的和为０； 　　（2）指数成等差的四个数的和为０；　 例如：＝０ 　　　　　　　　（3）连续多个数相加的规律．　 　　　　　　　 例6．求…的值 　　　　　解答：共有2006－10＋１＝１997项 　　　　　　由于1997＝4499＋1 　　　　　　由于连续4个的和等于0 　　　　　　因此原式＝＝－1 　2．有关复数的几个常用化简式 ，， 例7（2005高考重庆2）．　　　　（　　） A．　　B．－　　C．　　D．－ 　　　解答： 　　　　　故答案选A 　　　　　　3．有关复数的综合运算[来源:学,科,网Z,X,X,K] 　　　　　例７、（本题满分12分）在复数范围内解方程（为虚数单位