7.3复数的三角表示-新教材2019-2020学年高一数学人教A必修第二册同步高效学案

7．3*　复数的三角表示 考点 学习目标 核心素养 复数的三角形式 了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 数学抽象 复数三角形式乘、除运算的 三角表示及其几何意义 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 数学抽象、数学运算 问题导学 预习教材P83－P89的内容，思考以下问题： 1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？ 2．复数的辐角、辐角的主值是什么？ 3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？ 4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？ 1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． ■名师点拨 (1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． (2)复数0的辐角是任意的． (3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π. (4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 2．复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2) ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)＝ ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的辐角是唯一的．(　　) (2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．(　　) (3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．(　　) (4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐