第1章 直角三角形-2019-2020学年八年级数学下册易混易错知识点汇总(湘教版)

第一章 直角三角形 【知识点1】 一、直角三角形的性质 性质1：直角三角形两锐角互余. 性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 性质3：直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半. 二、直角三角形的判定 判定1：有两个角互余的三角形是直角三角形. 判定2：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形. 【易错点】 【易错点1】忽略了运用直角三角形的性质的前提条件 在运用直角三角形的性质时，它的前提是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，那么这些性质就不存在了，所以运用时要注意前提条件。 、如图1-1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A=60°，则∠BCD的度数为（ ） A.30° B.60° C.90° D.无法确定 图1-1 【错解】：B 【错解分析】：在本题中没有指明△ABC是直角三角形，故不能利用直角三角形的性质进行计算。错解中想当然地认为△ABC是直角三角形，然后利用了直角三角形的性质，进而造成错解。 【正解】：D 、如图1-2，在△ABC中，∠ABC=75°，从顶点B引射线BD与CA交于D点，使∠CDB=30°，BD=AD。求证：AD=2BC。 图1-2 【错解】：在△BCD中，∵∠CDB=30°，∴BC=BD。 ∵BD=AD，∴BC=AD，即AD=2BC。 【错解分析】：在本题中没有指明∠C=90O，故不能直接利用直角三角形的性质进行计算。在本题中应该先利用已知条件证出∠C=90O，再利用直角三角形的性质证明BD=2BC,进而得出AD=2BC。 【正解】：∵∠CDB=30°，BD=AD ∴∠A=∠ABD=∠CDB=15° ∵∠ABC=75° ∴∠A+∠ABC=90° ∴∠C=90° 在Rt△BCD中，∵∠CDB=30° ∴BC=BD ∵BD=AD ∴BC=AD，即AD=2BC。 【针对性练习】1、在△ABC中，CD是AB边上的中线，若AB=6，则CD的长是（ ） A.2 B.3 C.6 D.无法确定 【错解】：B 【正解】：D 【方法总结】“直角三角形两锐角互余”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这三个定理是直角三角形特有的性质时，所以在运用这几个性质时一定要注意前提条件是“在直角三角形中”。 【易错点2】误用直角三角形的性质 、如图1-3，在△ABC中，∠ACB=90°，BD=CD。求证：CD=AD。 图1-3 【错解】：在△ABC中，∵∠ACB=90°， ∴BD=CD。 ∴CD=AB=AD， 【错解分析】：在本题已知条件中没有告诉点D为直角三角形斜边上的中点，故不能利用直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来证明。 【正解】：∵BD=CD， ∴∠BCD=∠B ∵∠ACB=90° ∴∠BCD+∠ACD=90°，∠B+∠A=90° ∴∠ACD=∠A ∴CD=AD 【针对性练习】2、如图1-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∠ABC的平分线为BD,且AD的长为15cm,求AC的长 图1-4 【错解】：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠ABC=60°,BD平分∠A BC ∴∠A=30°, ∠CBD=∠ABC=30° ∴AC=2BC,BC=2CD ∴AC=4CD即CD=AC 又∵AD+CD=AC 且 AD=15cm ∴AC=20cm 【正解】：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠ABC=60°,BD平分∠ABC ∴∠A=30°, ∠CBD=∠ABD=∠ABC=30° ∴CD =BD, ∠A=∠ABD ∴AD=BD ∴CD=AD 又∵AD+CD=AC 且 AD=15cm ∴AC=AD= 22.5cm 【方法总结】运用直角三角形的性质解题时，如果审题不清或对直角三角形的性质理解不透彻的话，都会出现误用直角三角形的性质解题的现象，从而出现解题过程或解题结果出现错误。 【易错点3】因题目中没有图形而忽视分类讨论 对于一些求三角形（尤其是等腰三角形）的边长和角的度数的题目，当没有给出三角形的形状时，要注意分情况考虑，防止漏解. 、在△ABC中，∠ABC=∠C，BD是AC边上