4.双变量“存在性或任意性”问题的解法·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

双变量“存在性或任意性”问题的解法 ■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其 大家知道,逻辑推理的关键要素是:逻辑 的起点、推理的形式、结论的表达。而解决双 变量“存在性或任意性”问题的关键就是将含 有全称量词或存在量词的条件“等价转化”为 两个函数值域之间的关系(或两个函数最值 之间的关系),下面举例说明,供同学们参考。 一、形如“对任意x1∈A,都存在x2∈ B,使得g(x2)=f(x1)成立”问题 例1 已知函数f(x)=3x2+2x- a(a+2),g(x)= 19 6x- 1 3 ,若对任意x1∈ [-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f(x1)= g(x2)成立,求实数a的取值范围。 解析:由题意知,g(x)在[0,2]上的值域 为 - 1 3 ,6 。 函数f(x)=3x2+2x-a(a+2)的对称 轴是x=- 1 3 。 当x∈[-1,1]时,函数f(x)的值域为 f - 1 3 ,f(1) ,f -13 =-a2-2a- 1 3 ,f(1)=-a2-2a+5。 又由题意可知,当x∈[-1,1]时f(x) 的值域是 - 1 3 ,6 的子集,所以: -a2-2a- 1 3≥- 1 3 , -a2-2a+5≤6。 解得实数a的取值范围是[-2,0]。 说明:求解本题的关键是理解全称量词 与存在量词的含义,求解此类问题的策略是 “等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的 值域的子集”,从而利用包含关系构建关于a 的不等式组,求得参数的取值范围。 二、形如“存在x1∈A 及x2∈B,使得 f(x1)=g(x2)”问题 例2 已知函数f(x)=x2,函数g(x) =ksin πx 6 -2k+2 (k>0),若存在x1∈[0, 1]及x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立, 求实数k的取值范围。 解析:由题意知,函数f(x)的值域为[0, 1],g(x)的值域为 2-2k,2- 3k 2 ,并且两 个值域有公共部分。 先求没有公共部分的情况,即2-2k>1 或2- 3 2k<0 ,解得k< 1 2 或k> 4 3 。 所以要使两个值域有公共部分,k 的取 值范围是 1 2 ,4 3 。 说明:本类问题的实质是“两函数f(x) 与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法 的关键是利用了补集思想。另外,若把此种 类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价 转化”为利用“f(x)的值域和g(x)的值域相 等”来求解参数的取值范围。 三、形如“对任意x1∈A,都存在x2∈ B,使得f(x1)≥g(x2)成立”问题 例3 已知f(x)=ln(x2+1),g(x)= 1 2 x -m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2], 使得f(x1)≥g(x2),求实数m 的取值范围。 解析:当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)= 0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)= 1 4-m 。 对∀x1∈ [0,3],∃x2∈ [1,2]使 得 f(x1)≥g(x2),等价于f(x)min≥g(x)min。 (下转第14页) 01 知识篇 知识结构与拓展 高二使用 2020年3月 $$