5.接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红——推理中的数学文化赏析·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红 ———推理中的数学文化赏析 ■河南省许昌市许昌高级中学 许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 逻辑推理是数学思维的主要形式,也是 培养数学核心素养的重要途径。从近年高考 命题情况来看,以数学文化为背景的逻辑推 理的命题层出不穷,不仅可以提升学生对数 学文化的认知,加深学生对数学文化的理解, 而且能促进学生数学思维及数学核心素养的 养成。下面同大家共同赏析几道与数学文化 有关的逻辑推理的问题。 一、取材于游戏中的推理问题 例1 箱子里有16张扑克牌:红桃A、 Q、4,黑桃J、8、7、4、3、2,草花 K、Q、6、5、4, 方块A、5,老师从这16张牌中挑出一张,并 把这张牌的点数告诉学生甲,把这张牌的花 色告诉学生乙。老师问学生甲和学生乙:你 们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什 么牌吗? 于是,老师听到了如下的对话:学生 甲:“我不知道这张牌”;学生乙:“我知道你不 知道这张牌”;学生甲:“现在我知道这张牌 了”;学生乙:“我也知道了”。则这张牌是 。 分析:根据甲的第一句判断出点数为A, Q,5,4,再根据乙的第一句判断出花色,最后 根据甲的第二句和乙的第二句判断出该牌的 点数。 解:因为甲只知道点数而不知道花色,甲 第一句说明这个点数在四种花色中有重复, 则点数为A,Q,5,4其中的一种;而乙知道花 色,还知道甲不知道,说明这种花色的所有点 数在其他花色中也有,所以乙第一句表明花 色为红桃或方块。甲第二句说明两种花色中 只有一个点数不是公共的,所以表明不是A; 乙第二句表明只能是方块5。 点评:本例取材于数学游戏,考查学生进 行简单的合情推理能力。数学大师陈省身先 生说过“数学好玩”。游戏可让数学更加好 玩,数学又可赋予游戏以知识,把游戏改编为 数学试题,既不失试题的数学性,又能增加其 趣味性。 练习1.甲和乙玩一个猜数游戏,规则如 下:已知6张纸牌上分别写有1- 12 n (n∈ N*,1≤n≤6)6个数字。现甲、乙两人分别从 中各自随机抽取1张,然后根据自己手中的 数推测谁手上的数更大。甲看了看自己手中 的数,想了想说:“我不知道谁手中的数更 大”;乙听了甲的判断后,思索了一下说:“我 知道谁手中的数更大了”。假设甲、乙所作出 的推理都是正确的,那么乙手中可能的数构 成的集合是 。 解析:由题意知,6个数字分别为 1 2 ,3 4 , 7 8 ,15 16 ,31 32 ,63 64 。由甲说他不知道谁手中的数 更大,可推出甲不是最大与最小的数。若乙 取出的数字是 1 2 或 63 64 ,则他知道甲的数字比 他大还是小;若乙取出的数字是3 4 或 31 32 ,则他 知道甲的数字比他大还是小;若乙取出的数 字是 7 8 或 15 16 ,则他不知道谁的数字更大。故 乙 手 中 可 能 的 数 构 成 的 集 合 是 1 2 ,3 4 ,31 32 ,63 64 。 二、取材于生活中的推理问题 例2 A4是生活中最常用的纸规格,A 11 知识篇 数学文化与赏析 高二使用 2020年3月 系列的纸张规格特色是:①A0、A1、A2、…、 A5,所有规格的纸张长宽比都相同,为 2∶ 1;②在A系列纸中,前一个序号的纸张以两 条长边中点连线为折线对折裁剪分开后,可 以得到两张后面序号大小的纸,比如1张A0 纸对折后可以得到2张A1纸,1张A1纸对 折可以得到2张A2纸,依此类推。已知A0 纸规格为84.1 cm×118.9 cm,118.9÷84.1≈ 1.41≈ 2,那么A4纸的长度为( )。 A.14.8 cm B.21.0 cm C.29.7 cm D.42.0 cm 分析:设A0纸的长为 2a=118.9,宽为 a。根据题意可求出 A0、A1、A2、A3、A4纸 的长宽与a的关系,最后将值代入即可。 解:设A0纸的长为 2a,则宽为a。由 题意知,1张A0纸以长边为中点对裁后可以 的到2张A1纸,此时A1纸相邻两边长度分 别为 2 2a 和a。因为a> 2 2a ,则前一序号纸 张的宽变为现纸张的长,按此规律,可得到 A2纸的长为 2 2a ,宽为a 2 ;A3纸的长为 a 2 , 宽为 2 4a ;A4纸的长为 2 4a ,宽为a 4 。由题意 得,2a=118.9,则 2 4a= 118.9 4 ≈29.7 。 故选C。 点评:数学来源于生活,是对生活中现象 的抽象。本例结合生活中司空见惯的打印 纸,构建问题,体现了推理在生活中的应用。 本例解答的关键是对问题进行数学抽象,恰 当构造数学模型,探求其规律,从而使问题得 解。 练习2.我们在求高次方程或超越方程 的近似解时常用二分法求解,在实际生活中