13.复数中的参数问题·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

复数中的参数问题 ■广东省广州市第二中学科学城校区 孙晓荣 复数问题在高考中分值较少,难度较低, 正确理解复数的概念,合理运用复数的几何 意义及其性质,是解决复数问题的关键。下 面对复数中的参数问题进行专题归纳,以飨 读者。 一、利用复数的概念 复数问题实数化是解决复数问题最基 本、最重要的思想方法,依据复数的概念可以 化虚为实。 例1 (2019年江苏卷)已知复数(a+ 2i)·(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位, 则实数a的值是 。 分析:先利用复数代数形式的乘除运算 法则进行化简,再由实部为0求的a值。 解:因为(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+ 2)i的实部为0,所以a-2=0,即a=2。故 答案为2。 点评:本题考查复数代数形式的乘除运 算,也考查复数的基本概念,解题的关键是正 确理解复数的概念。 练习 1:当 实 数 m 为 何 值 时,复 数 m2+m-6 m+5 + (m2+8m+15)i是纯虚数? 解析:由已知得, m2+8m+15≠0, m2+m-6 m+5 =0 。 解得m=2。 二、利用复数的几何意义 复数既可用代数形式表示也可用几何形 式表示,因此,复数的各种运算也具有了几何 意义,解复数题时常以形助数,数形结合,使 问题的解决更加形象直观。 例2 设复数z满足|z-i|=1,z在复 平面内对应的点为(x,y),则( )。 A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 分析:由z 在复平面内对应的点为(x, y),可得z=x+yi,然后根据|z-i|=1即可 得解。 解:因为z 在复平面内对应的点为(x, y),所以z=x+yi,z-i=x+(y-1)i。 因此,|z-i|= x2+(y-1)2 =1,则 x2+(y-1)2=1,选C。 点评:本题考查复数的模、复数的几何意 义,解题的关键是正确理解复数的几何意义。 练习2:如果复数z=3+ai(a∈R)满足 条件|z-2|<2,那 么 a 的 取 值 范 围 是 ( )。 A.(-22,22) B.(-2,2) C.(-1,1) D.(- 3,3) 解析:易得|1+ai|<2,即1+a2<4,所 以a∈(- 3,3),选D。 三、利用复数相等的充要条件 复数集是由实数集扩充而来,实数集中 的某些性质在复数集中仍然成立。利用复数 相等的充要条件将复数问题转化为实数问题 是一种最常见的解题策略。 例3 若a+bii (a,b∈R)与(2-i) 2 相 等,则a-b= 。 分析:复数相等时,它们的实部和虚部分 别相等,由此可得结论。 解:因为a+bi i = (a+bi)(-i) -i2 =b-ai, (2-i)2=4-4i-1=3-4i,两个复数相等,所 以b=3,a=4,则a-b=1,答案为1。 点评:借助于复数相等,将复数问题实数 化。两个复数相等的充要条件是它们的实部 和虚部分别相等,即a+bi=c+di⇔ a=c, b=d。 (下转第32页) 03 解题篇 经典题突破方法 高二使用 2020年3月 $$