14.例说巧用复数性质妙解题·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

例说巧用复数性质妙解题 ■江苏无锡市第六高级中学 陈伟斌 ■江苏无锡市青山高级中学 张启兆 复数有许多特殊的性质,如果在解题过 程中被灵活地运用,就能化繁为简、化难为 易,起到事半功倍的效果。 一、虚数i的性质及其应用 与虚数单位i相关的性质有: ①i2=-1(即-1的平方根是±i); ②若n∈N*,则i4n=1,i4n+1=i,i4n+2= -1,i4n+3=-i; ③ 1±i 2=±2i; ④ 1+i 1-i=i ; ⑤in+in+1+in+2+in+3=0,in·in+1·in+2 ·in+3=-1(n∈N*); ⑥若w=- 1 2+ 3 2i ,则w3=1, |w|= 1,w2= 1 w=w 。 例1 计算-6i· 1+i1-i 2 020 。 解 析: 1+i 1-i 2 020 = 1+i 2 1-i 2 1 010 = -1 1 010=1。 故-6i· 1+i1-i 2 020 =-6i。 例2 求 (2+2i) 4 (1- 3i)5 = 。 解 析: (2+2i)4 (1- 3i)5 = 24(1+i)4 1- 3i 2 5 ·25 = 16(2i)2 -25 -1+ 3i 2 5= -64 -25× -1+ 3i 2 2 = 2 -1+ 3i 2 2= 2 -1+ 3i 2 -1+ 3i 2 3 =2 - 1 2+ 3 2i =-1+ 3i。 评注:运用与虚数单位i相关的性质,可 以使运算简化,提高运算速度。 二、复数模的性质及其应用 ①z·z=|z|2=|z|2 ; ②|z1·z2|=|z1|·|z2|,推广:|zn|= |z|n(n∈N*); ③ z1 z2 = |z1| |z2| 。 例3 已 知 复 数 z=(-1+2i)2· (a-i)4 (3-4i)3 ,且|z|=1,则实数a= 。 解析:因为z=(-1+2i)2· (a-i)4 (3-4i)3 ,所 以|z|=|(-1+2i)2|· (a-i)4 (3-4i)3 = (a2+1)2 25 。 因为|z|=1,故 (a2+1)2 25 =1 ,解得a= ±2。 例4 设复数z满足z2=3+4i(i是虚 数单位),则z的模为 。 解析:由z2=3+4i,得|z2|=|z|2= |3+4i|=5,所以|z|= 5。 评注:灵活运用复数模的性质,可以优化 运算过程。 三、共轭复数的性质及其应用 设复数z 的共轭复数为z,则有如下性 质: ①|z|=|z| ; ②z1+z2=z1+z2; ③z1·z2=z1·z2; ④ z1 z2 =z1z2; ⑤z为实数⇔z=z,z 为纯虚数⇔z= -z。 例5 已知复数z满足z·i=3-2i,其 中i是虚数单位,则z= 。 13 解题篇 经典题突破方法 高二使用 2020年3月 解析:由z·i=3-2i,得z= 3-2i i ,所以 z= 3+2i -i=-2+3i 。 例6 已知z1,z2 是两个不相等的复 数,且z1=1+i,求证: z1-z2 2-z1·z2 = 2 2 。 解析:由z1=1+i,得|z1|= 2,所以z1 · z1 = 2。 因 此 z1-z2 2-z1·z2 = z1-z2 z1·z1-z1·z2 = 1 z1 = 2 2 。 四、复数模的三角不等式||z1|-|z2|| ≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|的应用 例7 已知z1,z2∈C,|z1|=3,|z2|= 4,求|z1+z2|+|z1-z2|的最大值。 图1 解析:由几何意义可 知,|z1+z2|,|z1-z2|是 平行四边形 OZ1ZZ2 两 对角线之长,如图1。 故|z1+z2|+|z1-z2|≤|z1|+|z2|+|z1|+ |z2|≤2|z1|+2|z2|≤14,|z1+z2|+ |z1-z2|的最大值为14。 例8 (2019年北京大学自主招生数学 试题第2题改编)复数z1,z2 满足|z1-2i|= 3,|z2-6|=1,则由复数z1-z2 对应点构成 的图形的面积是 。 解析:复数z1,z2 对应点的轨迹都是圆, 关键在如何确定复数z1-z2 对应点的图形 (轨迹)。 记z=z1-z2,由复数模的三角不等式 得: |z-(-6+2i)|=|(z1-2i)-(z2-6)|≤ |z1-2i|+|z2-6|=4。 另 一 方 面|z - (-6+2i)|= |(z1-2i)-(z2-6)|≥||z1-2i|-|z2-6|| =2 。 故2≤|z-(-6+2i)|≤4,等号都能取 得,z对应点Z 的轨迹是一个外径为4内径 为2的圆环,面积为12π。 (责任编辑 徐利杰) 􀥕􀥕􀥕�