15.妙用复数性质巧解题·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

妙用复数性质巧解题 ■甘肃省白银市第一中学 胡贵平 复数是高考必考的知识点,着重考查其 概念及运算。灵活运用复数性质,便可达到 化繁为简,化难为易的效果,下面通过近几年 高考题,来说明复数性质的应用。 1. z1 z2 = |z1| |z2| 例1 (2019新课标Ⅰ卷文数)设z= 3-i 1+2i ,则|z|=( )。 A.2 B.3 C.2 D.1 解法 1:(常 规 法)因 为 z= 3-i 1+2i= (3-i)(1-2i) (1+2i)(1-2i)= 1-7i 5 ,所 以 |z| = 1 5 2 + - 7 5 2 = 2。 答案为 C。 解法2:(性质法)因为z= 3-i 1+2i ,所以 |z|= 3-i1+2i = |3-i| |1+2i|= 32+(-1)2 12+22 = 10 5 = 2。 答案为C。 练习1.(2019年天津卷文数)设i是虚 数单位,则 5-i 1+i = 。 答案为 13。 2.|z1·z2|=|z1|·|z2| 例2 (2017年江苏卷理数)已知复数 z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z 的模是 。 解法1:(常规法)因为z=(1+i)(1+2i) =1+2i+i-2= -1+3i,所 以|z|= (-1)2+32= 10。答案为 10。 解法2:(性质法)|z|=|(1+i)(1+2i)| =|1+i||1+2i|= 12+12 × 12+22 = 10。答案为 10。 练习2.(2017年全国新课标Ⅲ卷理数) 设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )。 A. 1 2 B. 2 2 C.2 D.2 答案:C。 3.|z|2=a2+b2=(a+bi)(a-bi) 例3 (2019年新课标Ⅲ卷理数)若 z(1+i)=2i,则z=( )。 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 解法1:(常规法)由z(1+i)=2i,得z= 2i(1-i) (1+i)(1-i)=i (1-i)=1+i。答案为D。 解法2:(性质法)由z(1+i)=2i,得z(1 +i)=(12+12)i。所以z(1+i)=(1-i2)i,z =(1-i)i,即z=1+i。答案为D。 练习3.(2018年浙江卷)复数 2 1-i (i为 虚数单位)的共轭复数是( )。 A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 答案:B。 4.|z|2=|z|2=z·z 例4 (2019年北京卷理数)已知复数 z=2+i,则z·z =( )。 A.3 B.5 C.3 D.5 解法1:(常规法)因为z=2+i,所以z· z=(2+i)(2-i)=5。 故选D。 解法2:(性质法)因为z=2+i,所以z· z=|z|2=22+12=5。故选D。 33 解题篇 创新题追根溯源 高二使用 2020年3月 练习4. (2016年全国Ⅲ卷理数)若z=1 +2i,则 4i zz-1 =( )。 A.1 B.-1 C.i D.-i 答案:C。 5.a+bi=(b-ai)i 例5 (2016年北京卷文数)复数1+2i2-i =( )。 A.i B.1+i C.-i D.1-i 解法1:(常规法) 1+2i 2-i= (1+2i)(2+i) (2-i)(2+i) = 2+i+4i-2 5 =i ,故选A。 解法 2:(性 质 法) 1+2i 2-i= -i2+2i 2-i = (2-i)i 2-i =i ,故选A。 练习5. (2015年天津卷文数) i是虚数 单位,则1-2i 2+i= 。 答案:-i。 6.(1±i)2=±2i 例6 (2015年湖南卷)已知(1-i) 2 z = 1+i(i为虚数单位),则复数z=( )。 A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解法1:(常规法)由题知 (1-i)2 z =1+i , 所 以 z = (1-i)2 1+i = 1-2i+i2 1+i = -2i 1+i= -2i(1-i) (1+i)(1-i)= -2i(1-i) 2 =-1-i 。 故选D。 解法2:(性质法)由题知 (1-i)2 z =1+i , 所以 z= (1-i)2 1+i = -2i 1+i= -2i(1-i) (1+i)(1-i)= -2i(1-i) 2 =-1-i 。故选D。 练习6.(2015年广东卷文数) 已知i是 虚数单位,则复数(1+i)2=( )。 A.-2 B.2 C.-2i D.2i 答案:D。 7. 1 i=-i 例7 (2015年四川卷理数)设i是虚 数单位,则复