第53讲：矩形-人教版八年级下册数学学案（教师版+学生版）（教育机构专用）

矩形 教学目标 1、掌握矩形的概念、判定与性质，理解矩形与平行四边形的之间的联系； 2、会用矩形的性质解决简单的证明和计算问题； 3、从矩形与平行四边形的区别与联系体会特殊与一般的关系，培养学生辩证唯物主义观点． 知识梳理 1．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 2．矩形的性质 （1）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是____； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线____； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的___． 3．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的____________，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 4．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定_____斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 5．翻折变换（折叠问题） （1）翻折变换（折叠问题）实质上就是_______变换． （2）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状以及大小不变，位置 变化，对应边和对应角相等． （3）在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形之 间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 典例讲练 1. 矩形的性质． 【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 练1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　） A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD 练2. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为　　． 2. 矩形的性质；等腰三角形的判定． 【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是　　． 练3. 若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（　　） A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm 3. 矩形的判定与性质． 【例3】如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积． 练4. 已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：P A2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论． 答：对图（2）的探究结论为　　　　　　　　； 对图（3）的探究结论为　　　　　　　　； 4．