专题1.1 三角形的证明-2019-2020学年八年级数学下学期期中考试高分直通车（北师大版）

2019-2020学年八年级下学期期中考试高分直通车（北师大版） 专题1.1三角形的证明（精讲精练） 【目标导航】 【知识梳理】 1.等腰三角形 （1）等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 2.等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 3.等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 4.等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 5.直角三角形的判定： （1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． （2）直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 6.直角三角形的性质： 直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 7.线段的垂直平分线： （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 8. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直 【典例剖析】 考点1 等腰三角形的写性质 【例1】（2019秋•九龙坡区校级期中）等腰三角形的一个外角为102°，则等腰三角形的顶角为（　　） A．24° B．78° C．24°或78° D．102° 【变式1-1】（2019秋•汝阳县期中）事实：在三角形中，若两条边相等，那么它们所对的两个角也相等，已知，如图，在△ABC中，D是AC上一点，且AB＝DB＝DC，∠C＝40°，则∠ABD的度数是（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 【变式1-2】（2019秋•杭州期中）如图钢架中，∠A＝a，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．若P1A＝P1P2，且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是（　　） A．15°≤a＜18° B．15°＜a≤18° C．18°≤a＜22.5° D．18°＜a≤22.5° 【变式1-3】（2019秋•宜昌期中）等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k＝（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 考点2等边三