福建省莆田市2020届高三（线上）3月教学质检数学（文）试题

２０２０ 年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 文科数学试题参考解答及评分标准 评分说明: １. 本解答给出了一种或几种解法供参考ꎬ 如果考生的解法与本解答不同ꎬ 可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. ２. 对计算题ꎬ 当考生的解答在某一步出现错误时ꎬ 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度ꎬ 可视影响的程度决定后继部分的给分ꎬ 但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半ꎻ 如果后继部分的解答有较严重的错误ꎬ 就不再给分. ３. 解答右端所注分数ꎬ 表示考生正确做到这一步应得的累加分数. ４. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分. 一、 选择题: 本大题考查基础知识和基本运算 􀆰 每小题 ５ 分ꎬ 满分 ６０ 分 􀆰 １􀆰 Ｂ　 　 　 ２􀆰 Ｂ　 　 ３􀆰 Ａ　 　 ４􀆰 Ｃ　 　 　 ５􀆰 Ｄ　 　 　 ６􀆰 Ｃ ７􀆰 Ａ　 　 　 ８􀆰 Ｂ　 　 ９􀆰 Ｃ　 　 １０􀆰 Ｄ １１􀆰 Ｃ １２􀆰 Ｄ 二、 填空题: 本大题考查基础知识和基本运算 􀆰 每小题 ５ 分ꎬ 满分 ２０ 分 􀆰 １３􀆰 ４ ３ 　 　 　 １４􀆰 １０　 　 　 １５􀆰 １ ３ 　 　 　 １６􀆰 １０００ ＋ ５００ ３ π 三、 解答题: 本大题共 ６ 小题ꎬ 共 ７０ 分 􀆰 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 􀆰 １７􀆰 本小题主要考查随机抽样、 独立性检验等基础知识ꎬ 考查数据处理能力、 运算求解能力 与应用意识ꎬ 考查统计与概率思想ꎬ 考查数学建模、 数据分析、 数学运算等核心素养ꎬ 体现基础性、 综合性与应用性 􀆰 满分 １２ 分 􀆰 解: (１) 从表中数据得不小于 ８０ 分的女性比例为１６ ＋ １４ １００ ＝ ３ １０ 􀆰 ２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 故可估计评分不小于 ８０ 分的女性人数为 ３ １０ × １１００ ＝ ３３０ 人 􀆰 ４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 根据题意得列联表: 　 　 　 用户类型 性别 　 　 　 Ａ 类用户 Ｂ 类用户 合计 男性 ２０ ２５ ４５ 女性 ３０ ２５ ５５ 合计 ５０ ５０ １００ ８ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 由于 Ｋ２ ＝ １００ × ３０ × ２５ － ２０ × ２５( ) ２ ５５ × ４５ × ５０ × ５０ ≈ １􀆰 ０１０ < ３􀆰 ８４１ꎬ １０ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 查表得: Ｐ Ｋ２ ≥ ３􀆰 ８４１( ) ≈ ０􀆰 ０５０ꎬ 所以没有 ９５％ 的把握认为“用户类型” 与性别有关 􀆰 １２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 文科数学试卷答案　 第 １ 页 (共 ７ 页) １８􀆰 本小题主要考查三角函数关系式、 解三角形等基础知识ꎬ 考查推理论证能力和运算求解 能力ꎬ 考查函数与方程思想、 化归与转化思想ꎬ 考查逻辑推理、 数学运算等核心素养ꎬ 体现基础性、 综合性 􀆰 满分 １２ 分 􀆰 解: (１) 因为 ａｃｏｓＣ ＋ ｃｃｏｓＡ ＋ ２ｂｃｏｓＢ ＝ ０ꎬ 由正弦定理得 ｓｉｎＡｃｏｓＣ ＋ ｓｉｎＣｃｏｓＡ ＋ ２ｓｉｎＢｃｏｓＢ ＝ ０ꎬ １ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以 ｓｉｎ(Ａ ＋ Ｃ) ＋ ２ｓｉｎＢｃｏｓＢ ＝ ０􀆰 ２ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为 Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝ πꎬ 所以 ｓｉｎＢ ＋ ２ｓｉｎＢｃｏｓＢ ＝ ０ꎬ ３ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为 ｓｉｎＢ ≠ ０ꎬ 故 ｃｏｓＢ ＝－ １ ２ 􀆰 ４ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为 ０ < Ｂ < πꎬ 所以 Ｂ ＝ ２π ３ 􀆰 ５ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２) 由(１) 知 Ｂ ＝ ２π ３ ꎬ 因为 ＢＤ 平分 ∠ＡＢＣꎬ 所以 ∠ＡＢＤ ＝ π ３ 􀆰 ６ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 在 △ＡＢＤ 中ꎬ 因为 ＡＢ ＝ ３ＢＤ ＝ ３ꎬ 由余弦定理ꎬ 得 ＡＤ２ ＝ ＡＢ２ ＋ ＢＤ２ － ２ＡＢ􀅰ＢＤｃｏｓ∠ＡＢＤꎬ ７ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 即 ＡＤ２ ＝ ９ ＋ １ － ２ × ３ × １ × １ ２ ＝ ７ꎬ 即 ＡＤ ＝ ７ 􀆰 ８ 分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以 ｃｏｓＡ ＝ ＡＢ ２ ＋ ＡＤ２ － ＢＤ２ ２ＡＢ􀅰ＡＤ ＝ ９ ＋ ７ － １ ２ × ３ × ７ ＝ ５