第3课时 推理与证明-2020春高中数学北师大版选修1-2复习课课件+习题 (2份打包)

第3课时　推理与证明 课后训练案巩固提升 一、A组 1.已知△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,求证:a<b. 证明∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A<∠B,∴a<b,画线部分是演绎推理的(　　) A.大前提 B.小前提 C.结论 D.三段论 解析:本题的大前提是在“同一个三角形中,大角对大边”;小前提是“∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A<∠B”. 答案:B 2.下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的. 第n行有n个数且两端的数均为(n≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如,……,则第10行第4个数(从左往右数)为(　　) A. B. C. D. 解析:依题意,结合所给的数阵,归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于,第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于,第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于. 答案:C 3.若不等式x2+2x+a≥-y2-2y对任意实数x,y都成立,则实数a的取值范围是(　　) A.a≥0 B.a≥1 C.a≥2 D.a≥3 解析:原不等式可化为a≥-x2-2x-y2-2y=2-[(x+1)2+(y+1)2]. 因为(x+1)2+(y+1)2≥0,所以2-[(x+1)2+(y+1)2]≤2, 所以使不等式恒成立的a的取值范围是a≥2. 答案:C 4.已知n∈N+,设平面上的n个椭圆最多能把平面分成an部分,且a1=2,a2=6,a3=14,a4=26,……,则an=　　　　　.  解析:观察规律可知an-an-1=(n-1)×4,利用累加法可得an=2n2-2n+2. 答案:2n2-2n+2 5.若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的几个值x1,x2,…,xn总满足≤ f称函数f(x)为D上的凸函数,现已知f(x)=sin x在(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是　　　　　.  解析:因为 ≤f, f(x)=sin x在(0,π)上是凸函数, 所以f(A)+f(B)+f(C)≤3f, 即sin A+sin B+sin C≤3sin , 所以sin A+sin B+sin C的最大值是. 答案: 6.已知f(x)=x2+2x-m,如果f(1)>0是假命题,f(2)>0是真命题,那么实数m的取值范围是　　　　　.  解析:依题意, ∴3≤m<8. 答案:[3,8) 7.给出一个“三角形”的数表如下: 此表构成的规则是:第一行是0,1,2,…,999,以后下一行的数是上一行相邻两个数的和.问:第四行的数中能被999整除的数是哪一项? 解:首先找出第四行数的构成规律.通过观察、分析,可以看出:第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的数有关,具体关系可以从上表看出:如果用an表示第四行的第n个数,那么an=8n+4.现在要找出an=8n+4=999k的an,显然k应是4的倍数.注意到第四行中最大的数是7 980<999×8,所以k=4. 由此求出第四行中能被999整除的数是999×4=3 996,它是第四行的第(3 996-4)÷8=499(项),即a499=3 996. 8.导学号18334063已知函数f(x)=ax3-x2+1(x∈R),其中a>0. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时,f(x)=x3-x2+1,f(2)=3,f'(x)=3x2-3x,f'(2)=6, 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9. (2)f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1), 令f'(x)=0,解得x=0或x=. 以下分两种情况讨论: ①若0<a≤2,则,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x 0 f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 当x∈时,f(x)>0等价于 即 解不等式组得-5<a<5,因此0<a≤2. ②若a>2,则0<,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x 0 f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当x∈时,f(x)>0等价于 解不等式组得<a<5或a<-.因此2<a<5. 综合①和②,可知a的取值范围为0<a<5. 二、B组 1.在平面直角坐标系xOy中,满足x2+y2≤1,x≥0,y≥0的点P(x,y)的集合对应的平面图形的面积为;类似地,在空间直角坐标系O-xyz中,满足x2+y2+z2≤1,x≥0,y≥0,z≥0的点P(x,y,z)的集合对应的空间几何体的体积为(　　)