第31期 2.1多边形 2.2平行四边形(性质)-2019-2020学年八年级下册初二数学《数理报》湘教版（答案见下一期）

书书书 在解多边形问题时，常常会遇到少算一个角、多算 一个角、剪去一个角等问题，很多同学在解这类题型时 往往会感到束手无策．为了帮助同学们突破这一难点， 现讲解如下． 一、少算一个角 例１　小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗 心，丢掉了一个内角，得到的结果是１６５０°，你能帮助他 算出这个多边形的内角和吗？ 分析：设出多边形的边数和漏掉的那个内角的度 数，利用内角和公式列出等式，再根据“被漏掉的内角大 于０°而小于１８０°”构建不等式，通过边数为整数可求 解． 解：设这个多边形为ｎ边形，漏掉的内角的度数为ｘ°． 根据题意，得（ｎ－２）×１８０＝１６５０＋ｘ． 解得ｘ＝１８０ｎ－２０１０． 因为０＜ｘ＜１８０， 所以０＜１８０ｎ－２０１０＜１８０． 解得１１１６ ＜ｎ＜１２ １ ６． 因为ｎ为正整数，所以ｎ＝１２． 所以这个多边形的内角和为：（１２－２）×１８０°＝ １８００°． 二、多算一个角 例２　小明在求一个多边形的内角和时，多算了一 个角，总和为１８３０°，求这个多边形的边数． 分析：设这个多边形的边数为ｎ，多算的角的度数为 ｘ°，根据“总和为１８３０°”列出ｎ，ｘ的关系式，并用ｎ表示 出ｘ，再利用０＜ｘ＜１８０构建不等式确定ｎ的整数解． 解：设这个多边形为ｎ边形，多算的角的度数为ｘ°． 根据题意，得（ｎ－２）×１８０＋ｘ＝１８３０． 解得ｘ＝２１９０－１８０ｎ． 因为０＜ｘ＜１８０， 所以０＜２１９０－１８０ｎ＜１８０． 解得１１１６ ＜ｎ＜１２ １ ６． 因为ｎ为正整数， 所以ｎ＝１２． 所以这个多边形的边数是１２． 三、剪去一个角 例３　一个多边形剪去一个角后，形成新多边形的 内角和为２５２０°，则原多边形的边数为 （　　） Ａ．１５　　　　　　　　　Ｂ．１６ Ｃ．１３或１５ Ｄ．１５或１６或１７ 分析：多边形剪去一个角，剪切的方式可能有以下 几种情况：如图１，剪切线过点Ａ２，Ａ４，把Ａ３切掉，此时所 得的多边形为（ｎ－１）边形；如图２，剪切线过点 Ａ２与 Ａ３Ａ４边上一点，此时所得的多边形为 ｎ边形；如图３，剪 切线分别过 Ａ３Ａ４上的一点与 Ａ２Ａ３上的一点，此时所得 的多边形为（ｎ＋１）边形．根据多边形的内角和计算公 式，列方程即可解决问题． 解：设剪角后的多边形为ｎ边形． 根据题意，得（ｎ－２）×１８０＝２５２０． 解得ｎ＝１６． 所以ｎ－１＝１５，ｎ＋１＝１７． 所以原多边形可以是十五边形，也可以是十六边 形，还可以是十七边形． 故选Ｄ． 书书书 定义：几个全等的正多边形 依次有一边重合，排成一圈，中 间可以围成一个正多边形，我们 称作正多边形的环状连接．如右 图，我们可以看作正六边形的环 状连接，中间围成一个边长相等 的正六边形；若正八边形作环状连接，中间可以围的正 多边形的边数为 ，若边长为１的正ｎ边形作环 状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的 外轮廓长为 ． 书书书 ２９期２版 １．３直角三角形全等的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ｂ；　４．Ｂ；　５．Ｃ； ６．答案不惟一，如ＡＢ＝ＤＣ；　７．①②③． ８．证明：因为ＡＤ⊥ＢＤ，ＡＥ⊥ＣＥ，所以∠Ｄ＝∠Ｅ＝９０°． 在 Ｒｔ△ＡＤＢ和 Ｒｔ△ＡＥＣ中， ＡＢ＝ＡＣ， ＡＤ＝ＡＥ{ ，所以 Ｒｔ△ＡＤＢ≌ Ｒｔ△ＡＥＣ（ＨＬ）．所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＥ． 能力提高　９．由题意，可知∠Ｃ＝∠ＱＡＰ＝９０°． 根据三角形全等的判定方法ＨＬ，可知 ①当点Ｐ运动到ＡＰ＝ＢＣ时，在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△ＱＰＡ中， ＢＣ＝ＰＡ，ＡＢ＝ＱＰ，所以Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＱＰＡ（ＨＬ）．所以ＡＰ＝ ＢＣ＝５ｃｍ． ②当点Ｐ运动到与点 Ｃ重合时，ＡＰ＝ＡＣ．在 Ｒｔ△ＡＢＣ和 Ｒｔ△ＰＱＡ中，ＡＢ ＝ ＰＱ，ＡＣ ＝ ＰＡ， 所 以 Ｒｔ△ＡＢＣ ≌ Ｒｔ△ＰＱＡ（ＨＬ）．所以ＡＰ＝ＡＣ＝１０ｃｍ． 综上所述，当点Ｐ运动到ＡＣ中点，或点 Ｐ与点 Ｃ重合时， △ＡＢＣ才能和△ＡＰＱ全等． １０．△ＡＤＢ≌ △ＡＤＣ，△ＡＢＤ≌ △ＡＢＥ，△ＡＦＤ≌ △ＡＦＥ， △ＢＦＤ≌△ＢＦＥ，△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ（写出其中的三对即可）．以 △ＡＤＢ≌△ＡＤＣ为例说明．理由：因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝ ∠ＡＤＣ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＤＢ和Ｒｔ△ＡＤＣ中，因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ ＡＤ，所以Ｒｔ△ＡＤＢ≌Ｒｔ△ＡＤＣ（ＨＬ）． １．４角平分线的性质 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．４． ５．证明：因为ＢＦ⊥ＡＣ，ＣＥ⊥ＡＢ，所以∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝ ９０°．因为 ∠ＥＤＢ ＝ ∠ＦＤＣ，ＢＥ ＝ ＣＦ，所以 △ＢＤＥ≌ △ＣＤＦ（ＡＡＳ）．所以ＤＥ＝ＤＦ．所以ＡＤ平分∠ＢＡＣ． ６．图略．∠ＡＯＢ的平分线与ＭＮ的交点即为所求作的点Ｃ． 能力提高　７．ＰＣ＝Ｐ