第33期 2.5矩形 2.6菱形-2019-2020学年八年级下册初二数学《数理报》湘教版（答案见下一期）

书书书 上期２版 ２．２．２平行四边形的判定 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．７；　４．平行四边形． ５．证明：因为ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ，ＣＦ⊥ＢＤ于点Ｆ， 所以∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＢ＝９０°． 因为ＢＥ＝ＤＦ， 所以ＢＥ＋ＥＦ＝ＤＦ＋ＥＦ，即ＢＦ＝ＤＥ． 又因为∠１＝∠２， 所以△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＡＳＡ）． 所以ＡＤ＝ＢＣ．又因为∠１＝∠２，所以ＡＤ∥ＢＣ． 所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．（１）因为ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＤ＝５０°， 所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＤ＝ １２（１８０°－５０°）＝６５°． 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝６５°． （２）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＥ＝ＣＦ，ＢＧ＝ＤＨ， 所以ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ，ＯＢ－ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即 ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ． 所以四边形ＥＨＦＧ是平行四边形． 能力提高　７．证明：（１）因为△ＡＢＣ和△ＡＤＦ都是 等边三角形， 所以ＡＦ＝ＡＤ，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＦＡＤ＝∠ＢＡＣ＝６０°． 所以∠ＦＡＤ－∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＤ，即∠ＦＡＢ ＝∠ＤＡＣ．所以△ＡＦＢ≌△ＡＤＣ（ＳＡＳ）． （２）因为△ＡＦＢ≌ △ＡＤＣ，所以 ∠ＡＢＦ＝∠Ｃ＝ ６０°．又因为∠ＢＡＣ＝∠Ｃ＝６０°，所以∠ＡＢＦ＝∠ＢＡＣ． 所以ＦＢ∥ＡＣ．因为ＢＣ∥ＥＦ，所以四边形ＢＣＥＦ是平行 四边形． ２．３中心对称和中心对称图形 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．Ｃ． ５．（１）点Ｂ′，Ｏ，Ｂ与点Ｃ′，Ｏ，Ｃ分别在一条直线上； （２）ＯＡ′＝４，ＯＢ′＝２．５，ＯＣ′＝６； （３）答案不惟一，如△ＯＡＢ和△ＯＡ′Ｂ′． ２．４三角形的中位线 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．３；　４．１． ５．证明：因为∠ＡＢＣ＝９０°，点Ｅ是ＡＣ的中点，所以 ＢＥ＝１２ＡＣ．因为Ｅ，Ｆ分别是ＡＣ，ＣＤ的中点，所以ＥＦ＝ １ ２ＡＤ．因为ＡＣ＝ＡＤ，所以ＢＥ＝ＥＦ．所以∠１＝∠２． 能力提高 　６．延长 ＣＤ交 ＡＢ于点 Ｆ，图略．在 △ＡＤＦ和△ＡＤＣ中， ∠ＦＡＤ＝∠ＣＡＤ， ＡＤ＝ＡＤ， ∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ { ， 所以 △ＡＤＦ≌ △ＡＤＣ（ＡＳＡ）．所以ＡＣ＝ＡＦ，ＣＤ＝ＤＦ．又因为Ｍ是ＢＣ 的中点，所以ＤＭ＝１２ＢＦ＝ １ ２（ＡＢ－ＡＦ）＝ １ ２（ＡＢ－ ＡＣ）．所以ＡＢ－ＡＣ＝２ＤＭ． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ａ 二、９．平行且相等；　１０．答案不惟一，如 ∠Ｂ＝ ∠Ｄ；　１１．６５°；　１２．２；　１３．１２；　１４．３ｓ或５ｓ． 三、１５．图略． １６．证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＣＤ ＝ＡＢ，ＡＤ ＝ＣＢ，∠ＤＡＢ＝∠ＢＣＤ．又因为 △ＡＤＥ和 △ＢＣＦ都是等边三角形，所以 ＤＥ＝ＢＦ，ＡＥ＝ＣＦ， ∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ＝６０°．所以∠ＢＣＤ－∠ＢＣＦ＝∠ＤＡＢ －∠ＤＡＥ， 即 ∠ＤＣＦ ＝ ∠ＢＡＥ． 所 以 △ＤＣＦ≌ △ＢＡＥ（ＳＡＳ）．所以ＤＦ＝ＢＥ．所以四边形ＢＥＤＦ是平行 四边形． １７．（１）证明：因为Ｄ，Ｇ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点，所以 ＤＧ∥ＢＣ，ＤＧ＝１２ＢＣ．因为Ｅ，Ｆ分别是ＯＢ，ＯＣ的中点， 所以ＥＦ∥ＢＣ，ＥＦ＝１２ＢＣ．所以ＤＧ＝ＥＦ，ＤＧ∥ＥＦ．所 以四边形ＤＥＦＧ是平行四边形． （２）ＤＧ＝６． １８．（１）证明：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所 以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ． 因为ＡＥ是∠ＢＡＤ的平分线，所以∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＥ．所以 ∠ＢＡＥ＝∠ＡＥＢ．所以ＡＢ＝ＢＥ．所以ＢＥ＝ＣＤ． （２）证明：因为ＡＢ＝ＢＥ，ＢＦ⊥ＡＥ，所以ＡＦ＝ＥＦ． 因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＡＤＦ＝∠ＥＣＦ，∠ＤＡＦ＝∠ＣＥＦ． 在△ＡＤＦ和△ＥＣＦ中，因为∠ＡＤＦ＝∠ＥＣＦ，∠ＤＡＦ＝ ∠ＣＥＦ，ＡＦ＝ＥＦ，所以△ＡＤＦ≌△ＥＣＦ（ＡＡＳ）．所以ＤＦ ＝ＣＦ．因为ＡＦ＝ＥＦ，ＤＦ＝ＣＦ，所以四边形ＡＣＥＤ是平 行四边形． 附加题　１．（１）六角星，八角星；　（２）是； （３）当ｎ是偶数时，ｎ角星绕中心点旋转１８０°能完 全重合，ｎ角星是中心对称图形；当ｎ奇数时，ｎ角星绕中 心点旋转１８０°不能完全重合，ｎ角星不是中心对称图 形． ２．延长ＥＭ交ＡＣ于点Ｇ，延长ＤＭ交ＢＣ于点Ｈ，图 略．因为 ＭＤ∥ ＡＣ，ＭＥ∥ ＡＢ，ＭＦ∥ ＢＣ，所以四边形 ＡＤＭＧ和 ＭＨＣＦ都是平行四边形．所以 ＤＭ ＝ＡＧ．由 △ＡＢＣ是等边三角形，得△ＭＧＦ和△ＭＥＨ都是等边三 角形．所以ＭＦ＝ＧＦ，ＭＥ＝ＭＨ＝ＣＦ．所以ＭＤ＋ＭＥ＋ ＭＦ＝ＡＧ＋ＧＦ＋ＣＦ＝ＡＣ＝７ｃｍ． 书书书 一、利用折叠求长度 例１　 如图 １，