2.3 反证法与放缩法（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第三节　反证法与放缩法 [课标领航]　1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法．　2.掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式． 1．反证法 先________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明________不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法． 2．放缩法 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． 自我校对 1．假设要证命题不成立　矛盾　假设 2．放大　缩小 1．实数a，b，c不全为0等价于(　　) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0[来源:学&科&网Z&X&X&K] C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析：a，b，c不全为0，等价于“a，b，c中至少有一个不为0”． 答案：D 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为(　　) A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数 C．a、b、c中至少有两个偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 解析：三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合． 答案：D 3．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(　　) ①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件； ③公理、定理、定义等；④原结论． A．①②　　　　　　 B.①②④ C．①②③ D.②③ 解析：由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等． 答案：C 4．A＝1＋＋＋…＋与(n∈N＋)的大小关系是________． 解析：A＝＋＋＋…＋≥＋＋…＋共n项　　＝＝. 答案：A≥ 5．lg 9·lg 11与1的大小关系是________． 解析：∵lg 9>0，lg 11>0， ∴<＝<＝1. ∴lg 9·lg 11<1. 答案：lg 9·lg 11<1 1．反证法 (1)反证法证明不等式的步骤是：反设(假设不等式的结论不成立)→归谬(从假设出发，经过推理论证，得出矛盾)→断言(由矛盾得出反设不成立)．反证法一般用于直接证明难以将已知条件与特征结论进行沟通(或者直接证明缺少条件)的情形． (2)用反证法证明不等式必须把握以下几点： ①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的． ②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法． ③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的． ④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件． (3)反证法中的数学语言 反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设． 常见词语 至少有一个 至多有一个 唯一一个 不是 不可能 全 都是 否定假设 一个也没有 有两个或两个以上 没有或有两个以上 是 有或存在 不全 不都是 对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误，有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾，在一些选择题中，更是如此． 2．放缩法 (1)放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小，如欲证A≥B，需通过B≤B1，B1≤B2≤…≤Bi≤A，(或A≥A1，A1≥A2≥…≥Ai≥B)，再利用传递性，达到证明的目的． (2)放缩法的理论依据主要有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量； ③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (3)放缩法使用的主要方法： 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如： 舍去或加上一些项：＋>； 将分子或分母放大(缩小)：<，> ，<，>(k∈R，k>1)等． 类型一　用反证法证明不等式 例1►已知0