3.1 二维形式的柯西不等式（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第一节　二维形式的柯西不等式 [课标领航]　1.认识二维形式的柯西不等式．　2.理解二维形式的柯西不等式的几何意义．　3.会利用二维形式的柯西不等式进行简单证明． 1．二维形式的柯西不等式 (1)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥________，当且仅当________时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论： (a＋b)(c＋d)≥____________(a，b，c，d为非负实数)； ·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)； ·≥________(a，b，c，d∈R)． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤____________，当且仅当β是________，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 (1)＋≥________________(x1，y1，x2，y2∈R)． (2)推论： ＋≥________________，(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)． 自我校对 1．(1)(ac＋bd)2　ad＝bc (2)(＋)2　|ac|＋|bd| 2．|α|·|β|　零向量 3．(1) (2) 1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是(　　) A．[－2，2]　　　　　　 B.[－2，2] C．[－，] D.(－，] 解析：∵a2＋b2＝10， ∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2， 即20≥(a＋b)2， ∴－2≤a＋b≤2. 答案：A 2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析：2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)· ≥＝(x＋y)2＝. 答案：B 3．函数y＝＋2的最大值是(　　) A. B. C．3 D.5 解析：根据柯西不等式，知 y＝1×＋2× ≤×＝， 当且仅当＝2， 即x＝时等号成立． 答案：B 4．设x＞0，y＞0，x＋y≤4，则＋的最小值为________． 解析：4≥(x＋y) ＝[()2＋()2]· ≥＝(1＋1)2＝4.∴＋≥1. 答案：1 5．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝·，则P与Q的大小为________． 解析：Q＝· ≥ ＝＋＝P， ∴Q≥P. 答案：Q≥P 1．对柯西不等式的理解 柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识． “二维”是由向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系． 2．柯西不等式取到“＝”的条件． 柯西不等式取“＝”的条件，也不易记住，我们可以多方面联系来记忆，如(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，取“＝”的条件是“ad＝bc”，有点像a，b，c，d成等比时，ad＝bc的结论，a，b，c，d的顺序不等式中是对应排列顺序的，柯西不等式的向量形式中α·β≤|α|·|β|，取“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ，我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆． 类型一　利用柯西不等式求函数的最值 例1►若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点． 【思路导引】　 【解析】　由柯西不等式 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4， 所以x2＋y2≥. 当且仅当＝时成立，为求最小值点，需解方程组 ∴ 因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为. 【点拨提升】　(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一． 1．求函数y＝5＋的最大值． 解析：函数的定义域为(1，5)，且y＞0，[来源:学科网ZXXK] y＝5×＋× ≤× ＝＝6. 当且仅当×＝5×时，等号成立，即x＝时，函数取最大值6. 类型二　利用柯西不等式证明不等式 例2►设＋＝1，求证：x2＋y2≥(m＋n)2. 【思路导引】　 【证明】　∵＋＝1，∴x2＋y2＝(x2＋y2)·≥＝(m＋n)2. 【点拨提升】　利用柯西不等式证明某些不等