3.2 一般形式的柯西不等式（课件+课时训练）-2019-2020学年高中数学选修4-5【高考领航】一线课堂高中同步核心辅导（人教A版）

第二节　一般形式的柯西不等式 [课标领航]　1.认识一般形式的柯西不等式的几种表现形式．　2.理解一般形式的柯西不等式的几何意义．　3.会利用一般形式的柯西不等式进行简单的数学应用． 1．三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥__________________________________________．当且仅当 ________________________________________________时，等号成立． 2．一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋a＋…＋a)·(b＋b＋b＋…＋b)≥__________________________________，当且仅当 ______________________________________________时，等号成立． 3．Rn中柯西不等式的向量形式，记Rn＝{α|α＝(a1，a2，…，an)，aj∈R，j＝1，2，…，n}．[来源:学科网] 称α为Rn中的向量，aj(j＝1，2，…，n)称为α的分量．特别当α的n个分量都是零时，称其为零向量，记为0. 设α，β为Rn中的向量，λ∈R， 令α＝(a1，a2，…，an)，β＝(b1，b2，…，bn)． 则α·β＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn， 称其为向量α与β的内积，特别地： α·α＝a＋a＋…＋a≥0， α·α＝0⇔a1＝a2＝…an＝0⇔α＝0， 记|α|＝. 定理(柯西不等式的一般(向量)形式)：设α，β∈Rn，则|α|·|β|≥________________，当且仅当________________________时，等号成立． 自我校对 1．(a1b1＋a2b2＋a3b3)2　b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3 2．(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)2　bi＝0(i＝1，2，3，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3，…，n) 3．|α· β|　α，β共线 1．已知实数x、y、z满足x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：由(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32) ≥(x＋2y＋3z)2＝1可得：x2＋y2＋z2≥. 答案：A 2．设a1，a2，…，an为实数，P＝，Q＝，则P与Q的大小关系为(　　) A．P＞Q B.P≥Q C．P＜Q D.不确定 解析：由柯西不等式知 (a＋a＋…＋a)·(1＋1＋…＋1n个　　)≥a1＋a2＋…＋an， ∴·≥a1＋a2＋…＋an， 即得 ≥， ∴P≥Q. 答案：B 3．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　) A．1 B.2 C．3 D.4 解析：a1x1＋a2x2＋…＋anxn ＝ ≤＝1. 答案：A 4．设x，y，z∈R＋，且满足x2＋y2＋z2＝5，则x＋2y＋3z的最大值为________． 解析：∵由柯西不等式，得 (x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2， ∴(x＋2y＋3z)2≤5×14＝70，当且仅当＝＝＝k，k＝时等号成立． ∴x＋2y＋3z的最大值为. 答案： 5．设x，y，z∈R，2x＋2y＋z＋8＝0，则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________． 解析：2x＋2y＋z＋8＝0⇒2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)＝－9. 考虑以下两组向量： u＝(2，2，1)，v＝(x－1，y＋2，z－3)， 由柯西不等式，得(u·v)2≤|u|2·|v|2； 即[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2≤[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2]·(22＋22＋12)， 当且仅当x＝－1，y＝－4，z＝2时等号成立， 所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥＝9. 答案：9 1．一般形式的柯西不等式的应用 我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点．我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题． 2．正确利用“1” 数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用．这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形