第四章 4.3 指数函数与对数函数的关系（课件+练习）-新教材高中数学必修第二册【优化探究】（人教B版）

一、复习巩固 1．设f(x)＝3x＋9，则f－1(x)的定义域是(　　) A．(0，＋∞)　 B．(9，＋∞) C．(10，＋∞) D．(－∞，＋∞) 解析：∵f(x)＝3x＋9>9， ∴反函数的定义域为(9，＋∞)，故选B. 答案：B 2．函数y＝ex＋1(x∈R)的反函数是(　　) A．y＝1＋ln x (x>0) B．y＝1－ln x (x>0)[来源:学_科_网Z_X_X_K] C．y＝－1－ln x (x>0) D．y＝－1＋ln x (x>0) 解析：由y＝ex＋1得x＋1＝ln y， 即x＝－1＋ln y，所以所求反函数为y＝－1＋ln x (x>0)．故选D. 答案：D 3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A．log2x B. C．x D．2x－2 解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x. 答案：A 4．已知函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则(　　) A．f(2x)＝e2x(x∈R) B．f(2x)＝ln 2·ln x(x>0) C．f(2x)＝2ex(x∈R) D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x>0) 解析：由y＝ex得f(x)＝ln x， ∴f(2x)＝ln 2x＝ln 2＋ln x(x>0)． 答案：D 5．函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为(　　) A．(1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：∵3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>log21＝0，即f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(0，＋∞)，故选C. 答案：C 6．已知函数y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，则a，b的值分别为________． 解析：由y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，说明它们互为反函数．又由y＝ax＋2，解得x＝，b＝－6. ＝b，解得a＝＝3且－，与函数y＝3x＋b表示同一函数，则有x－(a≠0)，所求反函数为y＝ 答案：，－6 7．已知函数f(x)＝ax－k(a>0，且a≠1)的图像过点(2,5)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(3,1)，则f(x)的表达式为________． 解析：∵y＝f－1(x)的图像过点(3,1)， ∴y＝f(x)的图像过(1,3)点，∴3＝a－k，① 又y＝f(x)的图像过点(2,5)， ∴5＝a2－k，② 由①②解得a＝2，k＝－1，∴f(x)＝2x＋1. 答案：f(x)＝2x＋1 8．求函数y＝3x－4(x≥2)的反函数． 解析：∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝log3(y＋4)， ∴y＝log3(x＋4)， 又∵x≥2，∴3x－4≥5，∴定义域为[5，＋∞)． ∴函数的反函数为y＝log3(x＋4)(x≥5)． 9．设f(x)＝，函数y＝g(x)的图像与函数y＝f－1(x＋1)的图像关于直线y＝x对称，求g(3)． 解析：依题意可知，y＝g(x)与y＝f－1(x＋1)互为反函数，令g(3)＝m，则点(3，m)在y＝g(x)的图像上，从而点(m,3)在y＝f－1(x＋1)的图像上，因此，得3＝f－1(m＋1)，∴f(3)＝m＋1，∴m＝f(3)－1＝，[来源:学§科§网Z§X§X§K]－1＝ 即g(3)＝. 二、综合应用 10．设a＝log32，b＝ln 2，，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析：a＝log32＝＞2＝log24＞log23，所以c＜a.综上知c＜a＜b. ，而，而log23＞log2e＞1，所以a＜b.又＝，b＝ln 2＝ 答案：C 11．设函数f(x)＝loga(x＋b) (a>0，且a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a＋b等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：f(x)＝loga(x＋b)的反函数为f－1(x)＝ax－b，又f(x)过点(2,1)，∴f－1(x)过点(1,2)， ∴或解得 又a>0，∴∴a＋b＝4. 答案：B 12．函数y＝的反函数是________． 解析：当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1； 当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln x，x≥1. 故原函数的反函数为y＝ 答案：y＝ 13．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(27)＝3，则f－1(log92)的值是________． 解析：∵f(27)＝3，∴loga27＝3，即a＝3， ∴f(x)＝log3x，∴f－1(x)＝3x， ∴ 答案： 14．若不等式2