第四章 4.4 幂函数（课件+练习）-新教材高中数学必修第二册【优化探究】（人教B版）

一、复习巩固 1．幂函数的图像过点(2，)，则该幂函数的解析式为(　　) A．y＝x－1　 B． C．y＝x2 D．y＝x3[来源:学科网ZXXK] 解析：设f(x)＝xα，则2α＝.选B. ，∴f(x)＝x，∴α＝ 答案：B 2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点，则k＋α＝(　　) A. B．1 C. D．2 解析：因为幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图像过点. ，所以k＋α＝，即α＝－α＝＝，所以k＝1，f 答案：A 3．下列命题： ①幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图像不可能在第四象限； ③n＝0，函数y＝xn的图像是一条直线； ④幂函数y＝xn当n>0时，是增函数； ⑤幂函数y＝xn当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小． 正确的命题为(　　) A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤ 解析：y＝x－1不过点(0,0)，∴①错误，排除A；当n＝0时，y＝xn的图像为两条射线，③错误，排除C；y＝x2不是增函数，④错误，排除B；因此答案选D. 答案：D 4．函数的图像是(　　) [来源:Zxxk.Com] 解析：∵函数是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C. 答案：C 5．函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m的值为(　　) A．4 B．3 C．－1或2 D．2 解析：，解得m＝2. 答案：D 6．若f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α的取值范围为________． 解析：由f(x)的单调性可知α>0，即α的取值范围为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 7．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________． 解析：因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减， 所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝. ＝－ 答案：－ 8．函数是幂函数，且在x∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m＝________. 解析：由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1， 再把m＝0和m＝1分别代入m2＋2m－3<0检验，得m＝0. 答案：0 9．比较下列各题中两个幂的值的大小： [来源:学科网ZXXK] 解析：(1)∵为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9， ∴ (2)∵为(0，＋∞)上的减函数，又1.1>0.9， ∴ (3)∵，函数为[0，＋∞)上的增函数，且， < ∴ 10．点(分别在幂函数f(x)，g(x)的图像上，问：当x为何值时，有： ，2)与点 ①f(x)>g(x)？②f(x)＝g(x)？③f(x)<g(x)? 解析：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ. ∵(， )α＝2，(－2)β＝－ ∴α＝2，β＝－1. ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1. 分别作出它们的图像，如图所示．由图像知， 当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； 当x＝1时，f(x)＝g(x)； 当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)． 二、综合应用 11．a，b满足0<a<b<1，下列不等式中正确的是(　　) A．aa<ab B．ba<bb[来源:Zxxk.Com] C．aa<ba D．bb<ab 解析：因为0<a<b<1，而函数y＝xa单调递增，所以aa<ba. 答案：C 12．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图像可能是(　　) [来源:Zxxk.Com] 解析：法一：分a>1,0<a<1两种情形讨论． 当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，由于y＝xa递增较慢，排除A，所以选D. 法二：幂函数f(x)＝xa的图像不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数f(x)＝logax的图像知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xa的图像应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D对；C项中由对数函数f(x)＝logax的图像知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa的图像应是增长越来越快的变化趋势，故C错． 答案：D 13．若(a＋1)3＜(3a－2)3，则实数a的取值范围是________． 解析：构造函数y＝x3，它在R上是增函数，所以a＋1＜3a－2，解得a＞. 答案： 14．设则a，b，c的大小关系为________． 解析：构造幂函数 (x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a＞b；构造指数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，所以a＜c，故c＞a＞b. 答案：c＞a＞b 15．已知幂函数 (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围． 解析：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)