山西省大同市第一中学2019-2020学年高二3月网上考试数学（理）试题（pdf版）

1 2019~2020-2 高二年级 3 月阶段性考试 数学(理) 答案 一、选择题（本题包括 12小题，每小题 5分，共 60分。每小题只有一个选项符合题意） 1.A 2.A 3.C 4.C 5.D 6.B 7.C 8.B 9.D 10A 11.D 12.B 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13. ( , 4) (1, )   14. 3(1 )x x 15. 25 3 7  16. 16 3 三、解答题 17．(10 分) 解：设点 A关于直线 l：2x－y＋2＝0 的对称点为 A1(x1，y1)， 点 A关于 x轴的对称点为 A2(x2，y2)，连接 A1A2交 l于点 B， 交 x轴于点 C，则此时△ABC的周长取最小值，且最小值为| |A1A2 . ∵A1与 A关于直线 l：2x－y＋2＝0 对称， ∴    y1－5x1－4×2＝－1，2×x1＋42 －y1＋52 ＋2＝0， 解得 x1＝0，y1＝7. ∴A1(0,7). 易求得 A2(4，－5)， ∴△ABC周长的最小值为| |A1A2 ＝ 4－02＋－5－72＝4 10. 18．(12 分) 解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，∴a＝2. 由    1＋x＞0，3－x＞0， 得 x∈(－1,3)，∴函数 f(x)的定义域为(－1,3). (2) f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当 x∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 当 x∈(1,3)时，f(x)是减函数， 故函数 f(x)在   0， 3 2 上的最大值是 f(1)＝log24＝2. 2 19．(12 分) 解法一： (1)证明：由 AB＝2，AA1＝4，BB1＝2， AA1⊥AB，BB1⊥AB，得 AB1＝A1B1＝2 2， 所以 A1B21＋AB21＝AA21， 故 AB1⊥A1B1. 由 BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，得 B1C1＝ 5. 由 AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得 AC＝2 3. 由 CC1⊥AC，得 AC1＝ 13， 所以 AB21＋B1C21＝AC21， 故 AB1⊥B1C1. 又因为 A1B1∩B1C1＝B1， 所以 AB1⊥平面 A1B1C1. (2) 如图，过点 C1作 C1D⊥A1B1，交直线 A1B1于点 D，连接 AD. 因为 AB1⊥平面 A1B1C1， AB1⊂平面 ABB1， 所以平面 A1B1C1⊥平面 ABB1. 因为平面 A1B1C1∩平面 ABB1＝A1B1，C1D⊥A1B1，C1D⊂平面 A1B1C1， 所以 C1D⊥平面 ABB1. 所以∠C1AD是直线 AC1与平面 ABB1所成的角. 由 B1C1＝ 5，A1B1＝2 2，A1C1＝ 21， 得 cos∠C1A1B1＝ 6 7 ，sin∠C1A1B1＝ 1 7 ， 所以 C1D＝ 3， 故 sin∠C1AD＝ C1D AC1＝ 39 13 . 所以直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是 39 13 . 解法二： (1) 证明：以 AC的中点 O为坐标原点，分别以射线 OB，OC为 x轴，y轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 O­xyz. 由题意知各点坐标如下： A(0,－ 3,0)，B(1,0,0)，A1(0,－ 3,4)，B1(1,0,2)，C1(0, 3,1). 因此AB1 ―→ ＝(1, 3,2)，A1B1 ―→ ＝(1, 3,－2)，A1C1 ―→ ＝(0,2 3,－3). 由AB1 ―→ ·A1B1 ―→ ＝0，得 AB1⊥A1B1. 由AB1 ―→ ·A1C1 ―→ ＝0，得 AB1⊥A1C1. 又因为 A1B1∩A1C1＝A1， 所以 AB1⊥平面 A1B1C1. (2) 设直线 AC1与平面 ABB1所成的角为 θ. 由(1)可知AC1 ―→ ＝(0,2 3，1)， AB―→＝(1， 3，0)， BB1 ―→ ＝(0,0,2). 设平面 ABB1的法向量为 n＝(x，y，z)， 3 由    n· AB―→＝0，n·BB1―→＝0， 得 x＋ 3y＝0，2z＝0， 可取 n＝(－ 3，1,0). 所以 sin