第六章 6.2 6.2.4 向量的数量积（课件+练习）-新教材高中数学必修第二册【优化探究】（人教A版）

一、复习巩固 1．已知|a|＝6，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b等于(　　) A．6＋　　　 B．6－ C．6 D．7 解析：a·b＝|a||b|cos 60°＝6×2×cos 60°＝6. 答案：C 2．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(　　) A．60° B．120° C．30° D．150° 解析：平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°. 答案：A 3．已知|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为b，则a·b＝(　　) A．3 B. C. D. 解析：∵a在b上的投影向量为|a|cos θb， ＝ ∴. ，即|a|cos θ＝＝ ∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×.＝ 答案：D 4．设a，b，c是任意三个非零向量且互不共线，下列各式正确的个数是(　　) ①(a·b)2＝a2·b2；②； ＝ ③(a·b)·c－(a·c)·b＝0; ④|a·b|＝|a|·|b|. A．0 B．1 C．2 D．4 解析：①中错误地迁移了实数的乘方运算，事实上，由a·b＝|a||b|cos θ得(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos 2θ＝a2b2cos 2 θ，其中θ＝〈a，b〉，只有当cos 2 θ＝1，即a∥b时(a·b)2＝a2·b2才成立，而当cos 2 θ≠1时，a2·b2cos 2 θ<a2·b2，即(a·b)2<a2·b2，故①错；②中运用了实数中的约分，而向量是没有意义的，故②错；③错用了实数乘法中的结合律，由于b与c是不共线的向量，故③错；④运用了实数中绝对值的意义，导致错误，由a与b的数量积两边加绝对值，得|a·b|＝|a||b||cos θ|，只有当θ＝0或θ＝π时，|a·b|＝|a|·|b|才成立，故④错． 答案：A 5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：设向量a与b的夹角为 θ， ∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0. ∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0. ∵|a|＝|b|，∴cos θ＝－.[来源:Z§xx§k.Com] ∴ θ＝120°. 答案：C 6．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则b在a上的投影向量为(　　) A．3a B．－a C．－3a D．a 解析：由a⊥(a＋b)，得a·(a＋b)＝0，即|a|2＋a·b＝0，于是a·b＝－9，因此b在a上的投影为|b|cos θ＝－a. 答案：B 7．非零向量a，b满足：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b与b夹角θ的大小为(　　) A．135° B．120° C．60° D．45° 解析：∵非零向量a，b满足a·(a－b)＝0， ∴a2＝a·b，由|a－b|＝|a| 可得， a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝|a|， ∴cos θ＝＝ ＝， ＝－ ∴θ＝135°，故选A. 答案：A 8．已知|a|＝8，e为单位向量，a与e的夹角为150°，则a在e上的投影向量为________． 解析：a在e上的投影向量为|a|cos 150°e＝8×(－e.)e＝－4 答案：－4e 9．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________. 解析：b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t＝0，解得t＝2.t＋1－t＝1－ 答案：2 10．已知向量a、b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)． 证明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|， ∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2， ∴4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2， ∴a2＝b2， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0. 又a与b不共线， ∴a＋b≠0，a－b≠0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． 二、综合运用 11．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的(　　) ·＝·＝· A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：由＝0，∴PB⊥CA. ·)＝0，即－·(得·＝· 同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心． 答案：D[来源:学§科§网Z§X§X§K] 12．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若＝________. ·＝1，则AB的长为________，· 解析：因为， －＝＋＋＝－＋＋＝ 所以|2＝1， ||cos 60°－×1×|2＝1＋－·2＋)＝－)·(＋＝(· 所以. |＝|2＝0，解得|||－| ×1×cos 60°＝＝· 答案：　 13．已知|a|＝1，a·b＝，求： ，(a